培优2 球的切、接问题（教师版）

　球的切、接问题
空间几何体与球有关的“切”“接”问题是立体几何中的重点，也是难点．所谓几何体的外接球，是指几何体的各顶点（或旋转体的顶点、底面圆周）都在一个球面上，此球称为该几何体的外接球；内切球是指与几何体内各面（平面、曲面）都相切的球．求解此类问题的关键是作出合适的截面圆，确定球心，再由球的半径R、截面圆的半径r及各几何量之间建立关系．
类型一 外接球问题
角度1　锥体的外接球
对于圆锥(侧棱相等的棱锥)，可得其外接球的球心必在该几何体的高所在的直线上，或者在过底面圆心(棱锥底面外接圆的圆心)且与该底面垂直的一条直线上，建立“心有所依”模型，由此可把相关信息转换到某一个直角三角形，利用勾股定理求解．
　已知三棱锥A-BCD，AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝CD＝3，则三棱锥A-BCD的外接球表面积为__________．
【解析】　如图：由题意知，底面△BCD为等边三角形，设M为其中心，则BM＝××3＝，
又AB＝AC＝AD＝2，所以该三棱锥为正三棱锥，
所以AM＝＝1，所以外接球半径R>AM，则外接球球心O在AM的延长线上，所以OA＝OB＝R，则OM＝R－1，
所以在Rt△BOM中，OB2＝OM2＋BM2，即R2＝2＋，解得R＝2，
所以外接球表面积为S＝4πR2＝16π.
【答案】　16π
角度2　柱体的外接球
对于圆柱(直棱柱)，结合球与圆柱(直棱柱)的有关性质，建立“汉堡”模型，上、下底面圆心(外接圆的圆心)连线的中点即为球心，球心到上、下底面圆周上的任一点(各个顶点)的距离都等于球的半径．
　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，若这个三棱柱的体积为9，AB＝3，则AA1＝________，球O的表面积为________．
【解析】　根据题意，设正三棱柱的高AA1＝h，
因为正三棱柱的体积为9，AB＝3，所以V＝S△ABC·h，代入可得9＝×32×h，解得h＝4.
因为正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的表面上，
由球的截面性质可知，球心位于过底面△ABC外接圆圆心的垂线上，结合棱柱的对称性可知，球心为正三棱柱上、下底面中心连线的中点．
设底面△ABC的外接圆半径为r，则由正弦定理可知2r＝，代入可得r＝＝，
设正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径为R，由勾股定理可知R2＝r2＋，
代入可得R2＝3＋＝7，
则由球的表面积公式可知正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×7＝28π.
【答案】　4　28π
角度3　补形法与外接球
对于具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直特征的几何体，构建“墙角”模型，将三棱锥放入伴随长方体中，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，不用找出球心的具体位置，这是处理此类问题的简捷途径．
　已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB＝BD＝CD＝2，若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为(　　)
A．3π B．2π
C．4π D．12π
【解析】　因为BD＝CD＝2，且△BCD为直角三角形，所以BD⊥CD.又AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，所以CD⊥AB，又AB∩BD＝B，AB，BD 平面ABD，所以CD⊥平面ABD.
由此可将四面体ABCD放入棱长为2的正方体中，如图所示，
所以正方体的外接球即为该四面体的外接球O，
正方体外接球的半径为正方体体对角线的一半，即R＝×＝，
所以球O的表面积S＝4πR2＝12π.
【答案】　D
类型二 内切球问题
常见内切球问题的求解策略：
(1)多面体的内切球，可用体积分割法(等体积法)求内切球的半径．
(2)圆锥的内切球：圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆的半径即为圆锥内切球的半径，设圆锥底面半径为r，高为h，R＝.
(3)内切球的球心到切点的距离相等且为半径，可作过球心的截面求半径．
　已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
【解】　如图，球O是正三棱锥P-ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R.PH是正三棱锥的高，即PH＝1.
设E是BC的中点，连接PE，AE，则H在AE上，又△ABC的边长为2，
所以HE＝××2＝，
所以PE＝＝，可以得到S△PAB＝S△PAC＝S△PBC＝BC·PE＝3，
S△ABC＝×(2)2＝6，
因为V三棱锥P-ABC＝V三棱锥O-PAB＋V三棱锥O-PAC＋V三棱锥O-PBC＋V三棱锥O-ABC，
所以×6×1＝×3×R×3＋×6×R，解得R＝＝－2，
所以球的表面积为S球＝4πR2＝4π×(－2)2＝8(5－2)π.球的体积为V球＝πR3＝π＝π.
【尝试训练】
1．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在同一球面上，且AB＝2，AA1＝4，则该球的表面积为(　　)
A．40π B．32π
C．10π D．48π
解析：选D.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中分别取△ABC，△A1B1C1的中心D，D1，取DD1的中点O，易知DD1⊥底面ABC且点O为该三棱柱的外接球的球心，易得OD＝DD1＝AA1＝2.
连接OB，则外接球半径R＝OB，连接BD并延长，交AC于点E，则E为AC的中点，所以BE＝AB×sin 60°＝2×＝3，故BD＝BE＝2.易知OD⊥DB，由勾股定理得，R＝＝2，于是该球的表面积S＝4π×(2)2＝48π.故选D.
2.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半径为r的球O与该正四棱台的各个面均相切，则该球的表面积S为(　　)
A．4π B．6π
C．8π D．10π
解析：选C.作该正四棱台的截面EFMN，如图．其中E，F，M，N分别是AB，CD，C1D1，A1B1的中点，H，K分别是MN，EF的中点，O是内切球的球心，H，K分别是内切球和上、下底面的切点，Q是内切球和侧面CDD1C1的切点，内切球的半径为r，由正四棱台的结构可以得到，HM＝1，KF＝2，HO＝KO＝QO＝r，易得MQ＝HM＝1，FQ＝FK＝2，MF＝3，MO2＝12＋r2，FO2＝22＋r2，且∠MOF＝90°，所以MO2＋FO2＝MF2，即1＋r2＋4＋r2＝9，解得r＝，从而可知该球的表面积S＝4πr2＝8π.故选C.
3．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的表面上，圆锥的底面周长为2π，若圆锥的侧面展开图为一个半圆，其面积为2π，则球O的表面积为________．
解析：因为圆锥的顶点和底面圆周都在球O的表面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为π，面积为2π，设母线长为l，所以×π×l2＝2π，得l＝2，由圆锥的底面周长为2π，得底面半径r＝1，所以圆锥的高为，设球O的半径为R，可得R2＝(－R)2＋12，解得R＝，所以球O的表面积为4πR2＝4π×()2＝.
答案：
4．若四面体A-BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝AC＝AD＝3，则该四面体的外接球O1的表面积为__________；若四面体A-BCD为正四面体，且各棱长均为2，则该四面体的外接球O2的表面积为________．
解析：当AB，AC，AD两两互相垂直，且AB＝AC＝AD＝3时，将四面体A-BCD补成正方体ABEC-DHFG，如图1所示，则正方体ABEC-DHFG的体对角线长为＝AB＝3，故四面体A-BCD的外接球的半径R1＝，所以球O1的表面积S＝4πR＝4π×()2＝27π.当四面体A-BCD为正四面体时，将正四面体A-BCD补成正方体AECF-GBHD，如图2所示，因为AC＝2，所以AE＝AF＝AG＝，所以正方体AECF-GBHD的体对角线长为＝AE＝，所以正四面体A-BCD的外接球的半径R2＝，所以球O2的表面积为S＝4πR＝6π.
答案：27π　6π