7．3.5　课后达标 检测（教师版）

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1．若α是三角形内角，且sin α＝，则α＝(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
解析：选B.因为sin 30°＝，sin 150°＝sin (180°－30°)＝sin 30°＝，所以α＝30°或150°.
2．方程cos x＝a(|a|≤1)在[0，2π]上有(　　)
A．一解 B．两解
C．三解 D．一解或两解
解析：选D.当a＝1时，方程有两解；当a＝－1时，方程有一解；当|a|<1时，方程有两解．故选D.
3．已知tan x＝，则x的取值集合为(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．
D．(k∈Z)
解析：选D.由tan x＝，得x＝kπ＋，k∈Z，即x的取值集合为(k∈Z).故选D.
4．使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C.由－2sin x≥0解得sin x≤，进一步利用单位圆解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，故选C.
5．(多选)若sin x＝(x∈[0，2π))，则x＝(　　)
A．arcsin B．π－arcsin
C． D．
解析：选AB.因为sin x＝(x∈[0，2π))，
所以x＝arcsin 或x＝π－arcsin ，
所以方程的解集为.
6．(多选)设sin θ，cos θ是方程4x2－4mx＋2m－1＝0的两个根，<θ<2π，则(　　)
A．m＝ B．m＝
C．θ＝ D．θ＝
解析：选BC.因为Δ＝16m2－16(2m－1)＝16(m－1)2≥0，所以由根与系数的关系，
得
②代入①的平方，得1＋2×＝m2，
解得m＝或m＝.
因为<θ<2π，所以sin θcos θ<0，即<0，
所以m<，故m＝，
则原方程变为4x2－2(1－)x－＝0，
解得x1＝，x2＝－，
由<θ<2π，可知sin θ<0，cos θ>0，
所以cos θ＝，sin θ＝－，所以θ＝.
7．若tan α＝，且α∈，则α＝________．
解析：因为tan ＝，又α∈，
所以α＝π＋＝.
答案：
8．已知cos x＝－，当x∈R时，则x＝________．
解析：因为cos x＝－，则x是第二、三象限角．当x∈时，x＝；当x∈时，x＝.因此x＝2kπ＋，k∈Z或x＝2kπ＋，k∈Z.因为的终边与－的终边重合，所以x＝2kπ±(k∈Z).
答案：2kπ±(k∈Z)
9．若集合M＝，N＝，则M∩N＝________．
解析：首先作出正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的图象，以及直线y＝，如图1，2所示．
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结合图象可得集合M，N分别为M＝，N＝，则M∩N＝.
答案：
10．已知sin x＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
解：(1)因为y＝sin x在上单调递增，
且sin ＝.
所以满足条件的角只有x＝.
所以x的取值集合为.
(2)因为sin x＝>0，
所以x为第一或第二象限角且sin
＝sin ＝.
所以在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝.
所以x的取值集合为.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
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11．函数y＝arctan －的值域是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.因为≥0，所以arctan ∈，
所以arctan －∈，故选B.
12．在△ABC中，sin －cos ＝0，则A＝(　　)
A． B．
C．或 D．或
解析：选D.sin ＝cos ，
若cos ＝0，则sin ＝0，
与sin2＋cos2＝1矛盾，
所以cos≠0，
所以tan ＝1，
所以2A－＝＋kπ，k∈Z，所以A＝＋，k∈Z，又A∈(0，π)，所以A＝或A＝.
13．方程cos 2x＝0在区间[0，100]内的解的个数是________.
解析：因为cos 2x＝0，所以2x＝＋kπ(k∈Z)，
所以x＝＋(k∈Z)，
因为x∈[0，100]，
所以k＝0，1，2，…，63，
因此所有解的个数是64.
答案：64
14．已知sin (π－x)－cos (π＋x)＝，x是第二象限角．求：
(1)sin x，cos x的值；
(2)x的取值集合．
解：sin (π－x)－cos (π＋x)＝sin x＋cos x＝，且x为第二象限角．
(1)因为sin x＋cos x＝，①
所以①两边平方得sin x cos x＝－.②
因为x为第二象限角，
由①②解得sin x＝，cos x＝－.
(2)由(1)得，当x∈时，x＝.
若x∈R，则x＝2kπ＋(k∈Z).
所以x的取值集合为.
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15．已知tan α－4sin β＝3，3tan α＋4sin β＝1，且α是第三象限角，β是第四象限角，则角α＝____________，β＝ ____________．
解析：由得
因为tan α＝1，α是第三象限角，
所以α＝2kπ＋，k∈Z；
因为sin β＝－，β是第四象限角，
所以β＝2kπ－，k∈Z.
答案：2kπ＋，k∈Z　2kπ－，k∈Z
16．已知θ为锐角，在以下三个条件中任选一个，并解答以下问题．
①＝；
②2sin2θ－cosθ－1＝0；
③·sin ·cos ＝.
(1)若选____________(填序号)，求θ的值；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝tan (2x＋θ)的定义域和最小正周期；
(3)求(2)中满足f(x)>－1的x的取值集合．
解：(1)若选①，因为
＝＝＝cos θ＝，又θ为锐角，所以θ＝.
若选②，由2sin2θ－cosθ－1＝0，
得2cos2θ＋cosθ－1＝0，
即(2cos θ－1)(cos θ＋1)＝0，
解得cos θ＝或cos θ＝－1，因为θ为锐角，
所以cos θ＝，即θ＝.
若选③，因为·sin ·cos
＝·(－cos θ)·(－sin θ)＝cos2θ＝，
解得cosθ＝±，又θ为锐角，
所以cos θ＝，即θ＝.
(2)由(1)知θ＝，则函数的解析式f(x)＝tan .
由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为
.
函数的最小正周期T＝.
(3)由(2)知f(x)＝tan .
因为tan >－1，
所以kπ－<2x＋解得－所以满足f(x)>－1的x的取值集合为
.