7．3.5　已知三角函数值求角（教师版）

7．3.5　已知三角函数值求角
1.掌握利用三角函数线求角的方法．　2.了解用信息技术求arcsin x，arccos x，arctan x的方法．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
特工人员发送情报时都用密码传送，接到密码的人员要把密码还原成原来的文字才能使用．这种加密与还原的过程类似于数学上求函数值与反函数值．如已知角求三角函数值是加密的过程，那么由三角函数值求角就是还原的过程．对于某一种三角函数来说，由于每一个三角函数值都有多个角对应，因此由三角函数值求角就变得比较困难．究竟如何由三角函数值求角呢？下面我们来一起学习吧！
求解关于x的方程sin x＝a和不等式sin xa)的解集的方法：
1．利用三角函数线
以射线OP与OP′为终边的角构成sin x＝a的解集．
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX10.TIF" \* MERGEFORMATINET
终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin xa的解集．
2．利用三角函数图象
(1)交点P与P′的横坐标为[0，2π]内使sin x＝a成立的x的值，即为sin x＝a在[0，2π]上的解．
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX11.TIF" \* MERGEFORMATINET
(2)曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成sin xa在[0，2π]上的解集．
(3)结合正弦函数的周期性把(1)(2)中的解集扩展到整个定义域内．
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" 　已知sin x＝－，求x.
【解】　方法一：由sin x＝－<0可知，角x对应的正弦线方向朝下，而且长度为，
如图所示，可知角x的终边可能是OP，也可能是OP′.
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX12.TIF" \* MERGEFORMATINET
又因为sin ＝sin ＝－，
所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
方法二：因为sin x＝－，
如图所示，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX13.TIF" \* MERGEFORMATINET
由正弦函数的图象，知在[0，2π]内，
sin ＝sin ＝－，
所以x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)利用正弦值求角
利用正弦线、正弦函数的图象求出一个周期(常用[0，2π]，，)内的角，再表示出定义域上的所有取值，即加周期的k(k∈Z)倍．
(2)利用正弦值解不等式
先求出相等时的x值，再根据单位圆、图象确定x的范围．　
[跟踪训练1] 在[－π，π]上，满足sin x≤的x的取值范围是____________．
解析：如图
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX14.TIF" \* MERGEFORMATINET
所示，因为sin ＝sin ＝，所以满足sin x≤的x的取值范围为∪.
答案：∪
求关于x的方程cos x＝a和不等式cos xa)的解集的方法：
1．利用三角函数线
以射线OP与OP′为终边的角构成cos x＝a的解集．
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX15.TIF" \* MERGEFORMATINET
终边在图中阴影部分(不包含边界)的角构成cos xa的解集．
2．利用三角函数图象
(1)交点P与P′的横坐标为[0，2π]内使cos x＝a成立的x的值，即为cos x＝a在[0，2π]上的解．
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX16.TIF" \* MERGEFORMATINET
(2)曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成cos xa在[0，2π]上的解集．
(3)结合余弦函数的周期性把(1)(2)中的解集扩展到整个定义域内．
　(1)(对接教材例1)已知cos ＝，求x.
(2)求不等式cos >－的解集．
【解】　(1)由cos ＝>0，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX17.TIF" \* MERGEFORMATINET
知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，如图所示，
可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为cos ＝cos ＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.
(2)如图所示，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX18.TIF" \* MERGEFORMATINET
在[－π，π]上，当x＋＝－或x＋＝时，
cos ＝－，
所以当x＋＝－＋2kπ或x＋＝＋2kπ，k∈Z时，cos ＝－.令－＋2kπ解得－＋4kπ所以不等式的解集为
.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
利用余弦值求角、解不等式的思路
将ωx＋φ看作整体，先求出[0，2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围．　
[跟踪训练2] 已知f(x)＝cos .
(1)若f(x)＝，求x；
(2)解不等式f(x)<.
解：(1)利用三角函数线可知，当x∈[0，2π]时，
cos ＝cos ＝，
令3x＋＝＋2kπ，k∈Z或3x＋＝＋2kπ，k∈Z.
解得x＝＋，k∈Z或x＝＋，k∈Z.
(2)由(1)及三角函数线知，＋2kπ<3x＋<＋2kπ，k∈Z，
解得＋求解关于x的方程tan x＝a和不等式tan xa)的解集的方法：
1．利用三角函数线
以射线OP与OP′为终边的角构成tan x＝a的解集．
终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成 tan xa的解集．
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX19.TIF" \* MERGEFORMATINET
2．利用三角函数图象
(1)交点P的横坐标为内使tan x＝a成立的x的值，即为tan x＝a在上的解．
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX20.TIF" \* MERGEFORMATINET
(2)曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成tan xa在上的解集．
(3)结合正切函数的周期性把(1)(2)中的解集扩展到整个定义域内．
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)当0(2)(对接教材例2)已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
【解】　(1)由正切函数的图象知，当0若tan x<－1，则即实数x的取值范围是.
(2)因为tan x＝－1＜0，
所以x是第二或第四象限的角．
由tan ＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan ＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第二象限角为x＝－，
所以在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
已知正切值求角、解不等式的思路
(1)将ωx＋φ看作一个整体，先根据正切线、图象求出一个周期内的值或范围，一般选取，再推广到定义域上，正切加kπ，区别于正、余弦加2kπ.
(2)最后代入ωx＋φ求值或求范围．　
[跟踪训练3] 已知f(x)＝tan .
(1)若f(x)＝，求x；
(2)解不等式f(x)≥.
解：(1)tan ＝>0，
角x＋对应的正切线方向朝上，
且长度为，
如图所示，所以角x＋的终边为OT或OT′.
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\BQB13.TIF" \* MERGEFORMATINET
因为tan ＝tan ＝，
所以x＋＝＋kπ，k∈Z.
即x＝＋2kπ，k∈Z.
(2)由(1)及三角函数线知
＋kπ≤x＋<＋kπ，k∈Z，
解得＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z，
所以原不等式的解集为
.
四　arcsin x，arccos x，arctan x的含义
1．在区间内，满足sin x＝y，y∈[－1，1]的x只有一个，记作x＝____________．
2．在区间________内，满足cos x＝y，y∈[－1，1]的x只有一个，记作x＝________．
3．在区间内，满足tan x＝y，y∈R的x只有一个，记作x＝arctan y．
[答案自填] arcsin y　[0，π]　arccos y
【即时练】
1．使arcsin (1－x)有意义的x的取值范围是(　　)
A．[1－π，1] B．[0，2]
C．(－∞，1] D．[－1，1]
解析：选B.要使arcsin (1－x)有意义，应满足－1≤1－x≤1，所以0≤x≤2，故选B.
2．若cos x＝－，x∈[0，π]，则x的值为____________．
解析：因为x∈[0，π]，且cos x＝－，所以x∈，所以x＝arccos ＝π－arccos .
答案：π－arccos
3．已知tan x＝，且x∈(0，2π)，则x＝________________________________.
解析：因为tan x＝>0，x∈(0，2π)
所以角x的终边在第一象限或第三象限，
所以x＝arctan 或x＝π＋arctan .
答案：arctan 或π＋arctan
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝arcsin a＋2kπ或x＝－arcsin a＋(2k＋1)π，k∈Z}，也可化简为{x|x＝(－1)karcsin a＋kπ，k∈Z}．
(2)方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝±arccos a＋2kπ，k∈Z}．
(3)方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝arctan a＋kπ，k∈Z}．　
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．已知tan θ＝－1，且θ∈，则θ的大小是(　　)
A．－　　 B．
C．　　 D．，
解析：选B.因为tan θ＝－1，且θ∈，则θ＝.
2．arccos ＝(　　)
A． B．－
C． D．
解析：选C.由arccos 的定义可得
arccos ＝π－arccos ＝π－＝.故选C.
3．(教材P63T2(2)改编)若cos (π－x)＝，x∈，则x的值为(　　)
A．或 B．±
C．± D．±
解析：选C.因为cos (π－x)＝－cos x＝，所以cos x＝－.因为x∈，所以x＝或x＝－.故选C.
4．函数y＝ln (cos 2x－1)的定义域为_________________________________．
解析：依题意得cos 2x－1>0，所以cos 2x>，所以－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ答案：.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" )
1．已学习：(1)利用单位圆中的三角函数线或三角函数图象，由三角函数值求角、解不等式．
(2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义．
2．须贯通：已知三角函数值求角或不等式常用到数形结合．
3．应注意：arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围容易出错．