7．4　数学建模活动：周期现象的描述（教师版）

7．4　数学建模活动：周期现象的描述
1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．　2.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．
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现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质可以解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题．
函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞)中参数的物理意义
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[答案自填] A　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ).
(1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
【解】　(1)由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2×＝，
所以ω＝＝150π.又当t＝时，I＝0，
即sin ＝0，
而|φ|<，所以φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin .
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
所以ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．　
[跟踪训练1] 音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器(如图1)，各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音．敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y＝sin ωt.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定ω的值为__________．
解析：由题中图象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，则ω＝400π.
答案：400π
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某地庙会每天8点开始，17点结束．通过观察发现，游客数量f(x)(单位：人)与时间x之间，可以近似地用函数f(x)＝600sin (ωx＋φ)＋k(ω>0，|φ|<)来刻画，其中x∈[8，17]，8点开始后，游客逐渐增多，10点时大约为350人，14点时游客最多，大约为1 250 人，之后游客逐渐减少．
(1)求出函数f(x)的解析式；
(2)腊月二十九，为了营造幸福祥和的氛围，该庙会筹办方邀请本地书法家书写了950幅福字，计划选一时段分发给每位游客，为了保证在场的游客都能得到福字，应选择在什么时间赠送福字？
【解】　(1)由题意得f(10)＝350，f(14)＝1 250，
且sin (14ω＋φ)＝1，
故
故
或
又ω>0，|φ|<，解得ω＝，φ＝，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝600sin (x＋)＋650，x∈[8，17].
(2)当x∈[8，17]时，x＋∈[，3π]，
令600sin (x＋)＋650＝950，
解得x＋＝或x＋＝，
解得x＝12或x＝16，结合函数图象(图略)及x∈[8，17]，可得当x∈[8，12]或x∈[16，17]时，可保证在场的游客都能得到福字，所以应选择在8点到12点或16点到17点两个时间段赠送福字．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
已知函数模型求解实际问题的一般思路
(1)这类题一般明确指出了周期现象满足的变化规律，例如，周期现象可用形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b或y＝A cos (ωx＋φ)＋b的函数来刻画，解这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可．
(2)对于函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)，最大值为b＋A，最小值为b－A.　
[跟踪训练2] 近年来，
我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面60米).设点P转动t(单位：秒)后离地面的距离为S(单位：米)，则S关于t的函数关系式为S(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<π).
(1)求S(t)的解析式；
(2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长．
解：
(1)如图，建立平面直角坐标系，当t＝0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0(0，60)，由题意得，ω＝，
解得所以S(t)＝40sin (t－)＋100.
(2)令S(t)≥80，则S(t)＝40sin (t－)＋100≥80，
即cos t≤，
所以2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
解得＋5k≤t≤＋5k(k∈Z).
当k＝0时，≤t≤，－＝，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为 秒．
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(单位：米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如表：
t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)从y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)＋b，y＝A cos (ωt＋φ)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
(2)如果确定在一天内的7时至19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
【解】　(1)由数据知选择y＝A sin (ωt＋φ)＋b较合适．令A＞0，ω＞0，|φ|＜π.由表中数据得A＝，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.把t＝0，y＝1代入y＝sin ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y＝sin t＋1(0≤t≤24).
(2)由y＝sin t＋1≥0.8，得sin t≥－，则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，注意到t∈[0，24]，所以0≤t≤7，11≤t≤19或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
确定三角函数模型解决实际问题的步骤
(1)根据原始数据，绘出散点图；
(2)通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；
(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数关系式；
(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．　
[跟踪训练3] 如图，一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2 m．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位：m)(在水面下则d为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t(单位：s)之间的关系可以表示为(　　)
A.d＝4sin (－)＋2 B．d＝4sin (＋)＋2
C．d＝4sin (－)＋2 D．d＝4sin (＋)＋2
解析：选A.设d＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，－<φ<)，由题意可知，dmax＝A＋b＝6，dmin＝b－A＝－2，解得A＝4，b＝2，函数d＝4sin (ωt＋φ)＋2(A>0，ω>0，－<φ<)的最小正周期为T＝＝40，则ω＝＝＝，当t＝0时，d＝4sin φ＋2＝0，可得sin φ＝－，又因为－<φ<，则φ＝－，故d＝4sin (－)＋2.故选A.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．简谐运动y＝4sin (5x－)的相位与初相位是(　　)
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
解析：选C.相位是5x－，当x＝0时的相位为初相位即－.故选C.
2．(多选)已知一质点做简谐运动的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．该质点的运动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8 s
解析：选BCD.由题图可知，质点的振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8 s，所以A错误，D正确；该质点的振幅为5，所以B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3 s和0.7 s时运动速度最大，在0.1 s和0.5 s时运动速度为零，故C正确．故选BCD.
3．已知某段电路中电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数解析式是I＝5sin ωt(0<ω<100π)，t∈[0，＋∞)，若t＝ s时的电流为3 A，则t＝ s时的电流为________A．
解析：由题意5sin ＝3，
所以sin ＝，
又因为0<ω<100π，
所以0<<，cos ＝＝，
所以t＝ s时的电流为I＝5sin
＝10sin cos ＝10××＝.
答案：
4.
如图，质点P在半径为2 cm的圆周上按逆时针方向匀速运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1 rad/s.　
(1)求点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式；
(2)求点P的运动周期和频率．
解：(1)由P0(，－)，得∠P0Ox＝－，
角速度为1 rad/s，点P从P0逆时针运动t秒后，∠P0OP＝t，所以∠xOP＝t－，
所以点P的纵坐标y关于时间t的函数解析式为y＝2sin (t－)(t≥0).
(2)由(1)知点P的运动周期为T＝＝2π，
所以频率为f＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：三角函数在物理及实际生活中的应用．
2．须贯通：面对实际问题，能够迅速地建立适当的数学模型是一种重要的基本技能，把问题中的“条件”逐条“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．
3．应注意：确定函数模型，易忽略定义域；根据确定的模型解决问题后，最后结果要回归实际问题．