培优1 三角函数中的参数问题（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../培优1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../培优1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　三角函数中的参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．本节结合最近几年高考考查模式，对求解参数问题进行分类解析．
类型一 由三角函数的最值(值域)求参数
求y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)型三角函数中的参数a，b的值时，一般利用正弦(余弦)函数的有界性列方程组求解，注意参数a的正负．
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知函数f(x)＝m sin x＋n(m，n∈R)的值域是[－1，3]，则实数m＝(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．±1
【解析】　当m＞0时，由－1≤sin x≤1，
得－m＋n≤f(x)≤m＋n，
因为f(x)的值域为[－1，3]，
所以解得
当m＝0时，显然不符合题意；
当m＜0时，由－1≤sin x≤1，
得m＋n≤f(x)≤－m＋n，
因为f(x)的值域为[－1，3]，
所以解得故选C.
【答案】　C
类型二 由三角函数的奇偶性求参数
对于三角函数的奇偶性，常用以下结论解决问题：
(1)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，需φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，需φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，需φ＝kπ(k∈Z).
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知函数f(x)＝4sin (x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，则2cos (2φ＋)＝(　　)
A．－ B．－1
C．1 D．
【解析】　由于函数f(x)＝4sin (x＋φ)(0＜φ＜π)是偶函数，故φ＝kπ＋，k∈Z.因为0＜φ＜π，所以φ＝，则2cos (2φ＋)＝2cos (π＋)＝－2cos ＝－1.故选B.
【答案】　B
类型三 利用三角函数对称性求参数
对于函数y＝sin (ωx＋φ)，y＝cos (ωx＋φ)及y＝tan (ωx＋φ)的图象的对称问题，应将ωx＋φ看作一个整体，借助以下三角函数的结论解决问题：
(1)正弦函数y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)；对称轴为直线x＝＋kπ(k∈Z).
(2)余弦函数y＝cos x的对称中心为(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴为直线x＝kπ(k∈Z).
(3)正切函数只有对称中心，没有对称轴，对称中心为(，0)(k∈Z).
INCLUDEPICTURE "典例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../典例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../典例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A．[，) B．(，]
C．(，] D．[，)
【解析】　当x∈[0，π]时，ωx－∈[－，ωπ－](ω＞0)，依题意可得≤ωπ－＜，解得ω∈[，).故选A.
【答案】　A
类型四 根据单调性求参数
对于已知函数单调区间的某一部分确定参数范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程(不等式组)求解．
INCLUDEPICTURE "典例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../典例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../典例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜2π)在[－，]上单调递增，则φ的取值范围为________．
【解析】　由x∈[－，]，得2x＋φ∈[－＋φ，＋φ]，又0≤φ＜2π，所以≤＋φ＜，
又函数f(x)在[－，]上单调递增，
所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为[，].
【答案】　[，]
类型五 由三角函数的图象求参数
由三角函数的图象求参数一般涉及A，ω，φ：
(1)A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定；
(2)ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定；
(3)φ可由某关键点、线确定．
INCLUDEPICTURE "典例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../典例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../典例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　函数f(x)＝2sin (ωx－φ)(ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../../25RJ5-1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25RJ5-1.TIF" \* MERGEFORMAT
A．2，－ 　　 　 B．2，－
C．2， 　　 　 D．4，－
【解析】　设函数f(x)的周期为T，
由题图得T＝－(－)＝，
解得T＝π，所以ω＝＝2，
即f(x)＝2sin (2x－φ)，又由题中图象知，
点(，2)在函数f(x)的图象上，
可得f()＝2sin (－φ)＝2，
即sin (－φ)＝1，则－φ＝2kπ＋，k∈Z，
解得φ＝－2kπ＋，k∈Z，
又因为－π＜φ＜π，所以φ＝.故选C.
【答案】　C
【尝试训练】
1．已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0，x∈[0，π])的值域为[－，1]，则ω的取值范围是(　　)
A．[，] 　　 　 B．[，1]
C．[，] 　　 　 D．[1，]
解析：选C.因为x∈[0，π]，可得ωx－∈[－，ωπ－]，因为函数f(x)＝sin (ωx－)的值域为[－，1]，所以ωπ－∈[，]，解得ω∈[，].故选C.
2．已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)为奇函数，且在[－，]上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．(0，) B．[，1)
C．(0，] D．[，1)
解析：选C.因为f(x)为奇函数，0＜φ＜π，所以φ＝，
所以f(x)＝cos (ωx＋)＝－sin ωx.
令t＝ωx，x∈[－，]，ω＞0，
则t∈[－，]，
因为f(x)在[－，]上单调递减，
所以解得0＜ω≤.故选C.
3．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点(，0)对称，则φ的值为________．
解析：由题知＝，则T＝，ω＝＝3，
所以f(x)＝2sin (3x＋φ)，
又函数图象关于点(，0)对称，所以2sin (＋φ)＝0，
则＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z，
因为－＜φ＜，所以φ＝.
答案：
4．若函数f(x)＝|sin ωx|－1在[0，5π]上恰好有3个零点，则正实数ω的取值范围是____________________________．
解析：令|sin ωx|－1＝0得sin ωx＝±1，
因为函数f(x)＝|sin ωx|－1在[0，5π]上恰好有3个零点，所以函数y＝sin ωx在[0，5π]上恰有3条对称轴，当0≤x≤5π时，0≤ωx≤5ωπ，
设t＝ωx，则函数y＝sin t在[0，5ωπ]上恰有3条对称轴，如图：
INCLUDEPICTURE "../../../../25RJ5-2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25RJ5-2.TIF" \* MERGEFORMAT
则≤5ωπ＜，解得≤ω＜.
答案：[，)