强化课 三角函数与诱导公式（教师版）
文档属性
| 名称 | 强化课 三角函数与诱导公式（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 137.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\备用\\2024\\8月\\23 数学人教B版必修第三册\\强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 三角函数与诱导公式
题型一 三角函数式的化简与求值
已知＝－tan ．
求：(1)tan α的值；(2)sin α－cos α的值．
【解】 (1)由题意得
＝＝＝1.
得tan α－6＝－2－tan α，即tan α＝2.
(2)由tan α＝＝2，知sin α＝2cos α，
则α为第一象限角或第三象限角，
代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，
当α为第一象限角时，cosα＝，sin α＝＝，所以sin α－cos α＝；
当α为第三象限角时，cos α＝－，
sin α＝－＝－，
所以sin α－cos α＝－.
综上所述，sin α－cos α＝或－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数的基本关系进行化简或求值．
[跟踪训练1] 已知函数f(θ)＝
.
(1)化简f(θ)；
(2)若f(θ)＝sin θ，求tan θ＋sin θcos θ的值．
解：(1)f(θ)＝×[cos (－θ)sin (θ＋)＋sin (π－θ)＋cos (＋θ)]
＝×[cos (4π＋－θ)sin (θ－＋2π)＋sin (π－θ)＋cos (＋θ)]
＝
＝＝cos θ.
(2)由(1)知f(θ)＝cos θ＝sin θ，
则tan θ＝＝，
sin θcos θ＝＝＝，
故tanθ＋sin θcos θ＝＋＝.
题型二 诱导公式在三角形中的应用
已知在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．
【解】 在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又sin ＝sin ，
所以sin (－C)＝sin (－B)，则cos C＝cos B.
又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，
所以△ABC为等腰三角形．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值．
[跟踪训练2] 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形后得到的图形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°＝( )
INCLUDEPICTURE "H:\\备用\\2024\\8月\\23 数学人教B版必修第三册\\25EA11.TIF" \* MERGEFORMATINET
A． B．－
C．－ D．－
解析：选C.因为∠ABC＝108°，所以∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，因为cos 36°＝＝×＝，所以cos 144°＝－cos 36°＝－.故选C.
题型三 诱导公式与三角函数的综合应用
在平面直角坐标系xOy中，α，β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A，B两点．已知点A(，)，将OA绕原点顺时针旋转到OB.求：
(1)点B的坐标；
(2)的值．
【解】 (1)已知点A(，)在单位圆上，
则cos α＝，sin α＝，
β＝α－，cos β＝cos (α－)＝sin α＝，
sin β＝sin (α－)＝－cos α＝－，
因为点B在单位圆上，所以B(，－).
(2)由(1)知cos β＝，sin β＝－，
则tan β＝＝－，所以
＝＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
对于三角函数与同角关系及诱导公式的综合问题，一般先是借助三角函数的定义求出某个角的三角函数值，然后用诱导公式化简变形，达到角的统一，最后再进行切化弦或弦化切，从而使问题得以解决．
[跟踪训练3] 如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.求：
INCLUDEPICTURE "H:\\备用\\2024\\8月\\23 数学人教B版必修第三册\\25EA12.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)tan α的值；
(2)的值．
解：(1)依题意得，sin α＝，因为α是第二象限角，故cos α＝－＝－，
于是tanα＝＝－.
(2)由
＝＝，
由(1)得，tan α＝－，
故原式＝＝－.
题型一 三角函数式的化简与求值
已知＝－tan ．
求：(1)tan α的值；(2)sin α－cos α的值．
【解】 (1)由题意得
＝＝＝1.
得tan α－6＝－2－tan α，即tan α＝2.
(2)由tan α＝＝2，知sin α＝2cos α，
则α为第一象限角或第三象限角，
代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝，
当α为第一象限角时，cosα＝，sin α＝＝，所以sin α－cos α＝；
当α为第三象限角时，cos α＝－，
sin α＝－＝－，
所以sin α－cos α＝－.
综上所述，sin α－cos α＝或－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数的基本关系进行化简或求值．
[跟踪训练1] 已知函数f(θ)＝
.
(1)化简f(θ)；
(2)若f(θ)＝sin θ，求tan θ＋sin θcos θ的值．
解：(1)f(θ)＝×[cos (－θ)sin (θ＋)＋sin (π－θ)＋cos (＋θ)]
＝×[cos (4π＋－θ)sin (θ－＋2π)＋sin (π－θ)＋cos (＋θ)]
＝
＝＝cos θ.
(2)由(1)知f(θ)＝cos θ＝sin θ，
则tan θ＝＝，
sin θcos θ＝＝＝，
故tanθ＋sin θcos θ＝＋＝.
题型二 诱导公式在三角形中的应用
已知在△ABC中，sin ＝sin ，试判断△ABC的形状．
【解】 在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以A＋B－C＝π－2C，A－B＋C＝π－2B.
又sin ＝sin ，
所以sin (－C)＝sin (－B)，则cos C＝cos B.
又B，C为△ABC的内角，所以C＝B，
所以△ABC为等腰三角形．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
在涉及三角形问题时，一定要注意根据三角形内角和A＋B＋C＝π以及题目的具体条件进行适当变形，再化简求值．
[跟踪训练2] 黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形，例如，正五角星可以看成是由一个正五边形剪去五个顶角为108°的黄金三角形后得到的图形，如图所示，在黄金三角形ABC中，＝，根据这些信息，可得cos 144°＝( )
INCLUDEPICTURE "H:\\备用\\2024\\8月\\23 数学人教B版必修第三册\\25EA11.TIF" \* MERGEFORMATINET
A． B．－
C．－ D．－
解析：选C.因为∠ABC＝108°，所以∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，因为cos 36°＝＝×＝，所以cos 144°＝－cos 36°＝－.故选C.
题型三 诱导公式与三角函数的综合应用
在平面直角坐标系xOy中，α，β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A，B两点．已知点A(，)，将OA绕原点顺时针旋转到OB.求：
(1)点B的坐标；
(2)的值．
【解】 (1)已知点A(，)在单位圆上，
则cos α＝，sin α＝，
β＝α－，cos β＝cos (α－)＝sin α＝，
sin β＝sin (α－)＝－cos α＝－，
因为点B在单位圆上，所以B(，－).
(2)由(1)知cos β＝，sin β＝－，
则tan β＝＝－，所以
＝＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
对于三角函数与同角关系及诱导公式的综合问题，一般先是借助三角函数的定义求出某个角的三角函数值，然后用诱导公式化简变形，达到角的统一，最后再进行切化弦或弦化切，从而使问题得以解决．
[跟踪训练3] 如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限角α的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.求：
INCLUDEPICTURE "H:\\备用\\2024\\8月\\23 数学人教B版必修第三册\\25EA12.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)tan α的值；
(2)的值．
解：(1)依题意得，sin α＝，因为α是第二象限角，故cos α＝－＝－，
于是tanα＝＝－.
(2)由
＝＝，
由(1)得，tan α＝－，
故原式＝＝－.