章末综合检测(一)（教师版）

章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．－2 024°角的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.因为－2 024°＝136°－6×360°，且136°角是第二象限角，所以－2 024°角的终边在第二象限．故选B.
2．已知cos (＋x)＝，则sin (－x)＝(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选A.sin (－x)＝sin [－(＋x)]＝－cos (＋x)＝－.故选A.
3．设函数f(x)＝2cos (x－)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为(　　)
A．4 B．2
C．1 D．
解析：选B.函数f(x)＝2cos (x－)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则f(x1)是函数f(x)的最小值，f(x2)是函数f(x)的最大值，|x1－x2|的最小值即为函数f(x)的半个最小正周期，而函数f(x)＝2cos (x－)的最小正周期T＝＝4，因此|x1－x2|min＝＝2.故选B.
4．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)的图象的相邻两个最高点的距离为，f(0)＝，则f(x)＝(　　)
A．sin (2x＋) B．2sin (2x＋)
C．sin (4x＋) D．2sin (4x＋)
解析：选D.由题意得，f(x)的图象的最小正周期为，所以ω＝＝4.因为f(0)＝，所以sin φ＝，因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f(x)＝2sin (4x＋).故选D.
5．将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A． B．
C．0 D．－
解析：选B.将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y＝sin 的图象，因为该函数是偶函数，所以φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
6．据长期观察，某学校周边早上6时到晚上18时之间的车流量y(单位：辆)与时间t(单位：h)满足如下函数关系式：y＝A sin (t－π)＋300(A为常数，6≤t≤18).已知早上8：30(即t＝8.5 h)时的车流量为500辆，则下午15：30(即t＝15.5 h)时的车流量约为(参考数据：≈1.41，≈1.73)(　　)
A．441辆 B．159辆
C．473辆 D．127辆
解析：选A.由题意可得500＝A sin (×8.5－π)＋300，可得200＝A sin ，解得A＝200，所以y＝200sin (t－π)＋300，当t＝15.5 h时，y＝200sin (×15.5－π)＋300＝200sin π＋300＝100＋300≈100×1.41＋300＝441(辆).故选A.
7．函数y＝10sin x与函数y＝x的图象的交点个数是(　　)
A．3 B．6
C．7 D．9
解析：选C.y＝10sin x的最小正周期是2π，y＝10sin x∈[－10，10]，
当y＝x∈[－10，10]时，x∈[－10，10]，作出函数y＝10sin x和y＝x的图象，只要观察x∈[－10，10]的图象，由图象知它们有7个交点，故选C.
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8．已知α，β是函数f(x)＝3sin (2x＋)－2在(0，)上的两个零点，则cos (α－β)＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.令f(x)＝0，得3sin (2x＋)＝2 sin (2x＋)＝，因为x∈(0，)，所以2x＋∈(，), 因为α，β是函数f(x)＝3sin (2x＋)－2在(0，)上的两个零点，则α，β是sin (2x＋)＝在(0，)上的两个根，故2α＋＋2β＋＝π α＋β＝，故α＝－β，
则cos (α－β)＝cos [(－β)－β]
＝cos (－2β)＝cos [－(2β＋)]
＝sin (2β＋)＝.故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是(　　)
A．－是第二象限角
B．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是π
C．若tan α＝3，则＝4
D．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π
解析：选ABD.对于A，根据象限角的定义，－为第二象限角，故A正确；对于B，函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是π，故B正确；对于C，若tan α＝3，则原式＝＝＝2，故C错误；对于D，若圆心角为的扇形的弧长为π，设扇形的半径为r，由扇形的弧长公式得π＝·r，解得r＝6，故该扇形的面积为S＝×π×6＝3π，故D正确．故选ABD.
10．已知θ∈，cos θ＝－，则下列结论正确的是　(　　)
A．θ∈ B．sin θ－cos θ＝
C．tan θ＝－ D．＝－
解析：选ABD.因为θ∈，cos θ＝－，
所以θ∈，所以sin θ>0，
sin θ＝＝　＝，
则sin θ－cos θ＝－＝，
tan θ＝＝＝－，
则＝＝－.
由上述解析，可知A，B，D项正确，C项错误．故选ABD.
11．已知函数f(x)＝sin (3x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则(　　)
A．函数f为奇函数
B．函数f(x)在上单调递增
C．若|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|的最小值为
D．函数f(x)的图象向右平移个单位得到函数y＝－cos 3x的图象　
解析：选AC.由已知得3×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
则φ＝－＋kπ(k∈Z)，又因为－<φ<，
所以φ＝－，故f(x)＝sin .
对于选项A，f＝sin ＝sin 3x，
所以f为奇函数，故A正确；
对于选项B，令－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ(k∈Z)，则－＋≤x≤＋(k∈Z)，当k＝0时，f(x)在上单调递增，故B错误；
对于选项C，若|f(x1)－f(x2)|＝2，
则|x1－x2|的最小值为半个最小正周期，
即×＝，故C正确；
对于选项D，因为sin ＝sin (3x－π)＝－sin 3x，故D错误．故选AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则＝ ________．
解析：因为角α的终边经过点P(－3，4)，
所以tan α＝＝－.
则＝
＝3tan α－1＝3×(－)－1＝－5.
答案：－5
13．定义：关于x的两个不等式f(x)<0，g(x)<0的解集分别为(a，b)和(，)，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式x2－4x cos θ＋2<0与不等式2x2＋4x sin θ＋1<0为对偶不等式，则θ＝________．
解析：设方程x2－4x cos θ＋2＝0的两根为a，b，
则a＋b＝4cos θ，ab＝2，
又方程2x2＋4x sin θ＋1＝0的两根为，，
则＋＝－2sin θ，
所以＋＝＝＝－2sin θ，
即tan θ＝－，所以θ＝－＋kπ(k∈Z).
答案：－＋kπ(k∈Z)
14．已知直线y＝a(常数a>0)与曲线y＝2 有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离为____________．
解析：根据直线y＝a与曲线y＝2 的交点成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离恰好是1个周期，且y＝2的最小正周期T＝，所以点A与点C的距离为＝.
答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知角α以x轴的正半轴为始边，点P(，－1)为其终边上一点．
(1)求sin α－2cos α的值；
(2)求
的值．
解：(1)因为角α的终边上有点P(，－1)，
所以sin α＝＝－，
cos α＝＝，
所以sin α－2cos α＝－－＝－.
(2)
＝
＝tan α＝－＝－.
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝3sin (2x＋)＋1.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的取值集合；
(2)用五点法画出f(x)在[－，]上的图象．
解：(1)因为－1≤sin (2x＋)≤1，
所以－3≤3sin (2x＋)≤3，
所以－2≤3sin (2x＋)＋1≤4，
则f(x)的最大值为4.
此时2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
解得x＝kπ＋(k∈Z).
故当f(x)取得最大值时，对应的x的取值集合为
{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
(2)由－≤x≤，得≤2x＋≤.列表如下：
x －
2x＋ π 2π
f(x) 4 1 －2 1
函数f(x)在上的图象如下：
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝sin (2x＋).
(1)画出函数f(x)在[0，π]上的简图；
(2)若函数y＝f(x)的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的解析式．
解：(1)列表如下：
x 0 π
2x＋ π 2π
f(x) 1 0 －1 0
函数f(x)在[0，π]上的简图如下：
(2)函数y＝f(x)的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin (x＋)的图象，再向右平移个单位，得到 g(x)＝sin (x－＋)＝sin (x－) 的图象，所以y＝g(x)＝sin (x－).
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝cos ，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根，求实数k的取值范围；
(3)将函数f(x)＝cos 的图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数g(x)的图象关于原点中心对称，求m的最小值．
解：(1)由题意得T＝＝＝π，故函数f(x)的最小正周期为π.由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)因为f(x)＝cos 在区间上单调递增，在区间上单调递减，
又f＝0，f＝，
f＝cos ＝－cos ＝－1，
由图象(图略)可知，当k∈[0，)时方程f(x)＝k恰有两个不同的实数根．
(3)因为f(x)＝cos ＝sin
＝sin ＝sin ，
所以g(x)＝sin
＝sin .
由题意得－2m＝kπ，k∈Z，所以m＝－＋，k∈Z.又m>0，所以当k＝0时，mmin＝，
此时g(x)＝sin 2x的图象关于原点中心对称，所以m的最小值为.
19．(本小题满分17分)已知非常数函数f(x)的定义域为R，如果存在正数T，使得 x∈R，都有f(x＋T)＝Tf(x)恒成立，则称函数f(x) 具有性质T.
(1)判断下列函数是否具有性质T？并说明理由；
①f1(x)＝2x－1；②f2(x)＝cos (2πx＋1).
(2)若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)具有性质T，求ω的最小值．
解：(1)f1(x)不具有性质T，f2(x)具有性质T，理由如下：
①假设f1(x)具有性质T，即存在正数T，使得2(x＋T)－1＝T(2x－1)恒成立，
则(2T－2)x＝3T－1对 x∈R恒成立，则此时无解，故假设不成立，
所以f1(x)不具有性质T.
②取T＝1>0，则f2(x＋1)＝cos [2π(x＋1)＋1]＝cos (2πx＋1)＝f2(x)，
即f2(x＋T)＝Tf2(x)对 x∈R恒成立，
所以f2(x)具有性质T.
(2)因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)具有性质T，所以存在正数T，使得 x∈R都有
sin [ω(x＋T)＋φ]＝T sin (ωx＋φ)恒成立，
令t＝ωx＋φ，则sin (t＋ωT)＝T sin t对 t∈R恒成立，若T>1，取t＝，
则sin (＋ωT)＝T>1，矛盾，若0即sin (－ωT)＝>1，矛盾，所以T＝1，
则当且仅当ω＝2kπ，k∈Z时，sin (t＋ω)＝sin t对 t∈R恒成立，
因为ω>0，所以ω≥2π，
所以ω的最小值为2π.