7．1.1　角的推广（教师版）

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7．1　任意角的概念与弧度制
7．1.1　角的推广
1.了解任意角的概念，能区分各类角．　2.掌握终边相同的角的含义及其表示方法．　3.掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角．
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同学们，在体操、花样游泳、跳水等项目中，我们也常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，这些问题中的角不仅有超出0°～360°范围的角，而且旋转的方向也不相同．为了准确地描述这些问题，我们需要扩大角的范围．
思考1　在初中是如何定义角的？角的范围是多少？
提示：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
思考2　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问有几种旋转方向？
提示：两种，分别为顺时针方向与逆时针方向．
思考3　小明要将射线OA绕着端点O旋转到OB位置．请问旋转的角度确定吗？
提示：不确定，旋转的角度可以相差周角的整数倍．
1．角的概念：一条________绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的________和________．
2．角的分类
名称 定义 图示
正角 按照____________方向旋转而成的角
负角 按照____________方向旋转而成的角
零角 一条射线________旋转，此时将其看成零角
这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为________．
3．角的加减运算的几何意义(β>0°)
(1)α＋β：把角α的终边____________方向旋转角β.
(2)α－β：把角α的终边____________方向旋转角β.
[答案自填] 射线　始边　终边　逆时针　顺时针　没有　转角　逆时针　顺时针
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)下列说法错误的是(　　)
A．终边与始边重合的角是零角
B．终边与始边都相同的两个角一定相等
C．小于90°的角是锐角
D．始边相同而终边不同的两个角一定不相等
【解析】　对于A，周角的终边与始边也是重合的，故A错误；
对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如30°，390°的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误；
对于C，锐角为大于0°且小于90°的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C错误；
对于D，始边相同而终边不同的两个角，旋转量不一样，所以两个角一定不相等，故D正确．故选ABC.
【答案】　ABC
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
任意角的理解
(1)正确理解零角、正角、负角、锐角、钝角、周角等概念．
(2)处理任意角问题的两个关键点．
①定方向：明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，由逆时针方向旋转形成的角为正角，否则为负角．
②定大小：根据旋转角度的绝对值确定角的大小．　
[跟踪训练1] (1)射线OA绕端点O逆时针旋转270°到达OB的位置，再顺时针旋转120°到达OC的位置，则∠AOC＝________．
解析：逆时针旋转是正角，顺时针旋转是负角，所以∠AOC＝270°－120°＝150°.
答案：150°
(2)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________.
解析：因为时针每小时转30°，分针每小时转360°，又因为时针、分针都按顺时针方向旋转，故时针转过的角度数为－3×30°＝－100°，分针转过的角度数为－3×360°＝－1 200°.
答案：－100°　－1 200°
所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝________________________．即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k＝0时对应的元素为________．
[答案自填] {β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　α
角度1　求与已知角终边相同的角
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)已知α＝－1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最小的正角；
(2)最大的负角；
(3)－360°～720°之间的角．
【解】　(1)与角α终边相同的角为β＝－1 845°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝5时，β＝－45°，当k＝6时，β＝315°，
故在与α终边相同的角中，最小的正角为315°.
(2)由(1)可知，在与α终边相同的角中，最大的负角为－45°.
(3)由(1)知，当k＝4时，β＝－405°；当k＝5时，β＝－45°，当k＝6时，β＝315°；
当k＝7时，β＝675°；当k＝8时，β＝1 035°.
因此，在与α终边相同的角中，在－360°～720°之间的角为－45°，315°，675°.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求在某范围内与已知角终边相同的角的基本思路
求与已知角α终边相同的角，先将这样的角表示成k·360°＋α(k∈Z)的形式，然后采用赋值法求解或解不等式，确定k的值，求出满足条件的角．　
角度2　终边在已知直线上的角的表示
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)写出终边在如图所示的直线上的角的集合．
【解】　(1)由题图1易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，
因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为
S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝－45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}∪{β|β＝－45°＋2(k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝－45°＋n·180°，n∈Z}．
(2)同理由题图2可得终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}，
由(1)得终边在直线y＝－x上的角的集合为{β|β＝－45°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝－45°＋2k·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z}，所以终边在直线y＝x上和在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·90°，n∈Z}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求终边在某条直线上的角的集合的步骤
(1)在0°～360°范围内，找到终边在所给直线上的角α及角α＋180°；
(2)分别写出与角α及角α＋180°终边相同的角的集合，然后求其并集．
常见结论如下：终边落在x轴上的角的集合：{α|α＝k·180°，k∈Z}；
终边落在y轴上的角的集合：{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}；
终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k·90°，k∈Z}．　
[跟踪训练2] (1)(多选)与－330°角终边相同的角是(　　)
A．390° B．－30°
C．30° D．－370°
解析：选AC.因为390°＝－330°＋2×360°，－30°＝－330°＋300°，30°＝－330°＋360°，－370°＝－330°－40°，所以，与－330°角终边相同的角是390°，30°，其他选项均不符合题意．故选AC.
(2)终边在直线y＝x上的角β的集合S＝____________________．
解析：在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个，即30°，210°(如图)，所以终边在直线y＝x上的角的集合是S＝{β|β＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}．
答案：{β|β＝30°＋n·180°，n∈Z}
角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为________________________．如果终边在____________上，就认为这个角不属于任何象限．
[答案自填] 第几象限角　坐标轴
角度1　象限角的判定
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)第一象限的角一定是正角．(　　)
(2)第四象限角大于第三象限角．(　　)
(3)锐角都是第一象限角．(　　)
(4)第二象限角是钝角．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2. 211°是第________象限角；若α是第四象限角，则－α是第________象限角．
解析：因为180°<211°<270°，故211°是第三象限角；若α是第四象限角，则α的终边在第四象限，又－α的终边与α的终边关于x 轴对称，所以－α的终边在第一象限，所以－α是第一象限角．
答案：三　一
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
象限角的判定方法
(1)根据图象判定：利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系；
(2)将角转化到0°～360°范围内：在平面直角坐标系内，0°～360°之间没有两个角的终边是相同的．　
角度2　象限角的集合表示
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　若α是第一象限角，则角2α，各是第几象限角？
【解】　因为α是第一象限角，
所以k·360°<α所以k·720°<2α故2α是第一或第二象限角或是终边在y轴的非负半轴上的角．
方法一：由(*)式得k·180°<①当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°<②当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋180°<综合①②知，是第一或第三象限角．
方法二：如图，将各象限分成两等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为的终边所在的区域，故是第一或第三象限角．
【变式探究】
1．(条件变式)若α是第三象限角，则是第几象限角？
解：如本例方法二解析图所示，标有Ⅲ的区域即为的终边所在的区域，故是第二或第四象限角．
2．(设问变式)若α是第一象限角，则是第几象限角？
解：如图，将各象限分成三等份，再从x轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，标有Ⅰ的区域(阴影部分)即为的终边所在的区域，故是第一、第二或第三象限角．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
由α所在象限确定nα或所在象限的方法
(1)用不等式表示α的范围，再确定nα或的范围，再判断角所在象限．
(2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限，即求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按逆时针方向顺序标记Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，找到原象限数字即可．　
[跟踪训练3] (多选)角的终边在第三象限，则θ的终边可能在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．y轴非负半轴 D．第三或四象限
解析：选ABC.因为角的终边在第三象限，所以180°＋k·360°<<270°＋k·360°，k∈Z，所以360°＋k·720°<θ<540°＋k·720°，k∈Z.所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴．故选ABC.
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．
【解】　(1)在0°～360°范围内，题图1中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为135°，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为300°，因此，阴影部分区域所表示的角的集合为{α|k·360°＋135°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
(2)题图2中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为{α|－60°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}，
题图2中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为{α|120°＋k·360°<α<225°＋k·360°，k∈Z}＝{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}，
因此，阴影部分区域所表示的角的集合为
{α|2k·180°－60°<α<2k·180°＋45°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°－60°<α<(2k＋1)·180°＋45°，k∈Z}＝{α|n·180°－60°<αeq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
表示区域角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，所以{x|α(3)起始、终止边界对应角α，β，再加上360°的整数倍，即得区域角的集合．　
[跟踪训练4] 已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．
解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在题图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．某次数学考试从上午8时30分开始，考了2小时．从考试开始到考试结束分针转过了(　　)
A.360° B．720°
C．－360° D．－720°
解析：选D.因为分针转一圈(即1小时)是－360°，所以从考试开始到考试结束分针转过了－720°.故选D.
2．(多选)已知α是锐角，则(　　)
A．180°＋α是第三象限角
B．2α是小于180°的正角
C．2α是第一或第二象限角
D．是锐角
解析：选ABD.由题知，因为α是锐角，所以0°<α<90°，对于A，所以180°<180°＋α<270°，故A正确；对于B，C，0°<2α<180°，故B正确，C错误；对于D，0°<<45°，故D正确．故选ABD.
3．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是____________________．　
解析：终边落在题图中阴影部分第二象限边界线的角为k·360°＋120°，k∈Z，终边落在题图中阴影部分第四象限边界线的角为k·360°－45°，k∈Z.所以终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．
答案：{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
4．(教材P7练习AT4改编)写出与75°角终边相同的角的集合，并求在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角．
解：与75°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．当360°≤β<1 080°，
即360°≤k·360°＋75°<1 080°时，解得≤k<.
又k∈Z，所以k＝1或k＝2.
当k＝1时，β＝435°；当k＝2时，β＝795°.
综上所述，在360°～1 080°范围内与75°角终边相同的角为435°和795°.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：正角、负角、零角的概念；象限角、终边相同的角、区域角的表示．
2．须贯通：任意角的概念中，旋转方向决定角的正负，旋转量决定角的大小，区域角用不等式表示的步骤，分类讨论与数形结合相互渗透．
3．应注意：终边相同的角的表示中勿漏掉k∈Z；表示区域角时，按逆时针旋转方向来确定区域的始边与终边所对应的角．