7．1.2 课后达标 检测（教师版）
文档属性
| 名称 | 7．1.2 课后达标 检测（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 392.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
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INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．从13：00到当天13：25，某时钟的分针转动的弧度为( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C.因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，所以分针转动的弧度为－π＝－.故选C.
2．在半径为9的圆中，100°的圆心角所对弧长为( )
A．900 B．5π
C．π D．10π
解析：选B.100°＝×100＝，则所对弧长为×9＝5π.故选B.
3．与终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．45°＋2kπ，k∈Z B．k·360°＋，k∈Z
C.k·360°＋315°，k∈Z D．2kπ－，k∈Z
解析：选D.在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误；与终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)的形式，当k＝－2时，2kπ＋＝－，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．故选D.
4．如图所示，已知⊙O的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是( )
A． B．－
C． D．－
解析：选D.设⊙O的半径为r，劣弧的长为l，过圆心O作OD⊥AB于点D，则D为AB边的中点．因为AO＝r，∠OAD＝30°，AD＝r·cos 30°＝r，所以边长AB＝2AD＝r，所以劣弧的长l＝AB＝r.又α是负角，所以α＝－＝－＝－.故选D.
5.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题．如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为6，圆心角为，则此弧田的面积为( )
A．12π－9 B．9π－12
C．12π－3 D．12π
解析：选A.由题意得，扇形半径r＝6，圆心角α＝，扇形面积为αr2＝××62＝12π，设点C为AB的中点，连接OC，则OC⊥AB，由∠AOB＝，有∠OAC＝，得OC＝3，AC＝3，S△AOB＝AB·OC＝×6×3＝9，所以此弧田的面积为12π－9.故选A.
6．(多选)若角α的终边与角的终边关于x轴对称，且α∈(－2π，2π)，则α的值可能为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选AD.因为角α的终边与角的终边关于x轴对称，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，又因为α∈(－2π，2π)，所以当k＝0时，α＝－；当k＝1时，α＝.故选AD.
7．把下列各角度与弧度进行互化．
(1)18°＝________；(2)π＝________．
解析：(1)18°＝18×＝.
(2)π＝×180°＝54°.
答案：(1) (2)54°
8．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20°，则这条弧所在圆的半径为________．
解析：由于20°＝，所以根据弧长公式得这条弧所在圆的半径为＝9.
答案：9
9．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为30 cm，内圆半径为10 cm，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料________cm2.
解析：由题意可知，扇环的面积为S＝××(302－102)＝300π(cm2).
答案：300π
10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
INCLUDEPICTURE "../../../../WK19.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../WK19.TIF" \* MERGEFORMAT
解：(1)如题图1，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以题图1中阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)如题图2，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z).
不妨设题图2中右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}，
M2＝{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
所以题图2中阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝{α|2kπ<α<＋2kπ或＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为( )
INCLUDEPICTURE "../../../../WK20.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../WK20.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B．
C． D．π
解析：选A.如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠FCD＝，又∠BCD＝＝，
所以∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝－＝，所以＝×3＝.故选A.
12．(多选)已知某扇形的弧长为3π，圆心角为，则( )
A．该扇形的半径为6π
B．该扇形的周长为9π
C．该扇形的面积为9π
D．该扇形的面积为9π2
解析：选AD.设该扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则r＝＝＝6π，A正确；
该扇形的周长为6π＋6π＋3π＝15π，B错误；
该扇形的面积为××(6π)2＝9π2，C错误，D正确．故选AD.
13．以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知正三角形ABC的边长为2，则图中勒洛三角形的面积与周长之比为________．
INCLUDEPICTURE "../../../../WK22.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../WK22.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由题意易知以点A，B，C为圆心，圆弧BC，AC，AB所对的扇形面积各为××22＝，等边三角形ABC的面积为×2×＝，所以题图中勒洛三角形的面积是×3－2×＝2π－2，周长为×2×3＝2π，故题图中勒洛三角形的面积与周长之比为1－.
答案：1－
14．已知角α＝2 040°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)α＝2 040°＝2 040×＝，
又＝＋5×2π，所以α＝＋5×2π，
所以α与的终边相同，又π<<，
因此α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)，
所以当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π，－π.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00，如果一个半径为3的扇形，它的面积为π，则其圆心角用密位制表示为( )
A．14－40 B．12－50
C．4－00 D．2－00
解析：选D.依题意，设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n，
则α×32＝π，解得α＝π，
由题意可得＝，
解得n＝×6 000＝200，
因此该扇形圆心角用密位制表示为2－00.故选D.
16．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α(0<α<π).
INCLUDEPICTURE "../../../../WK23.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../WK23.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；
(2)当α＝2时，求的中点E到弦BC的距离．
解：(1)延长BA，CD相交于点O，设内圆弧半径为r，
则AB＝CD＝OA＝OD＝r，所以＝rα，＝2rα，
所以rα＋2rα＋2r＝2l，则r＝，
所以S扇环＝S扇形OBC－S扇形OAD
＝×2rα×2r－×rα×r＝αr2
＝≤＝，
当且仅当9α＝，即α＝(负值已舍去)时，S扇环取得最大值，最大值为.
INCLUDEPICTURE "../../../../WK24.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../WK24.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)连接OE，设OE交BC于点F，则由垂径定理得OE⊥BC，则的中点E到弦BC的距离为EF，
∠BOE＝∠BOC＝1，
由(1)知，r＝＝＝，
所以OF＝cos 1，
所以EF＝OE－OF＝2r－cos 1＝(1－cos 1).
所以点E到弦BC的距离为(1－cos 1).
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．从13：00到当天13：25，某时钟的分针转动的弧度为( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选C.因为分针是按照顺时针方向旋转，所以转动的角为负角，所以分针转动的弧度为－π＝－.故选C.
2．在半径为9的圆中，100°的圆心角所对弧长为( )
A．900 B．5π
C．π D．10π
解析：选B.100°＝×100＝，则所对弧长为×9＝5π.故选B.
3．与终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．45°＋2kπ，k∈Z B．k·360°＋，k∈Z
C.k·360°＋315°，k∈Z D．2kπ－，k∈Z
解析：选D.在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误；与终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)的形式，当k＝－2时，2kπ＋＝－，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．故选D.
4．如图所示，已知⊙O的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是( )
A． B．－
C． D．－
解析：选D.设⊙O的半径为r，劣弧的长为l，过圆心O作OD⊥AB于点D，则D为AB边的中点．因为AO＝r，∠OAD＝30°，AD＝r·cos 30°＝r，所以边长AB＝2AD＝r，所以劣弧的长l＝AB＝r.又α是负角，所以α＝－＝－＝－.故选D.
5.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题．如图所示，弧田是由弧AB和弦AB所围成的图中阴影部分，若弧田所在圆的半径为6，圆心角为，则此弧田的面积为( )
A．12π－9 B．9π－12
C．12π－3 D．12π
解析：选A.由题意得，扇形半径r＝6，圆心角α＝，扇形面积为αr2＝××62＝12π，设点C为AB的中点，连接OC，则OC⊥AB，由∠AOB＝，有∠OAC＝，得OC＝3，AC＝3，S△AOB＝AB·OC＝×6×3＝9，所以此弧田的面积为12π－9.故选A.
6．(多选)若角α的终边与角的终边关于x轴对称，且α∈(－2π，2π)，则α的值可能为( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选AD.因为角α的终边与角的终边关于x轴对称，所以α＝－＋2kπ，k∈Z，又因为α∈(－2π，2π)，所以当k＝0时，α＝－；当k＝1时，α＝.故选AD.
7．把下列各角度与弧度进行互化．
(1)18°＝________；(2)π＝________．
解析：(1)18°＝18×＝.
(2)π＝×180°＝54°.
答案：(1) (2)54°
8．已知弧长为π的弧所对的圆心角为20°，则这条弧所在圆的半径为________．
解析：由于20°＝，所以根据弧长公式得这条弧所在圆的半径为＝9.
答案：9
9．工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式．如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为30 cm，内圆半径为10 cm，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料________cm2.
解析：由题意可知，扇环的面积为S＝××(302－102)＝300π(cm2).
答案：300π
10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
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解：(1)如题图1，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以题图1中阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．
(2)如题图2，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z).
不妨设题图2中右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，
则M1＝{α|2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}，
M2＝{α|＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
所以题图2中阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝{α|2kπ<α<＋2kπ或＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}．
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11．如图，分别以边长为3的正五边形ABCDE的顶点C，D为圆心，边长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为( )
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A． B．
C． D．π
解析：选A.如图，连接CF，DF，由题得△CDF为等边三角形，所以∠FCD＝，又∠BCD＝＝，
所以∠BCF＝∠BCD－∠FCD＝－＝，所以＝×3＝.故选A.
12．(多选)已知某扇形的弧长为3π，圆心角为，则( )
A．该扇形的半径为6π
B．该扇形的周长为9π
C．该扇形的面积为9π
D．该扇形的面积为9π2
解析：选AD.设该扇形所在圆的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则r＝＝＝6π，A正确；
该扇形的周长为6π＋6π＋3π＝15π，B错误；
该扇形的面积为××(6π)2＝9π2，C错误，D正确．故选AD.
13．以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知正三角形ABC的边长为2，则图中勒洛三角形的面积与周长之比为________．
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解析：由题意易知以点A，B，C为圆心，圆弧BC，AC，AB所对的扇形面积各为××22＝，等边三角形ABC的面积为×2×＝，所以题图中勒洛三角形的面积是×3－2×＝2π－2，周长为×2×3＝2π，故题图中勒洛三角形的面积与周长之比为1－.
答案：1－
14．已知角α＝2 040°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)α＝2 040°＝2 040×＝，
又＝＋5×2π，所以α＝＋5×2π，
所以α与的终边相同，又π<<，
因此α是第三象限角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ，k∈Z，又γ∈[－5π，0)，
所以当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
所以在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－π，－π，－π.
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15．密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省略不写．密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”，1周角等于6 000密位，记作1周角＝60－00，1直角＝15－00，如果一个半径为3的扇形，它的面积为π，则其圆心角用密位制表示为( )
A．14－40 B．12－50
C．4－00 D．2－00
解析：选D.依题意，设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n，
则α×32＝π，解得α＝π，
由题意可得＝，
解得n＝×6 000＝200，
因此该扇形圆心角用密位制表示为2－00.故选D.
16．如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角的绝对值为α(0<α<π).
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(1)当α为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积；
(2)当α＝2时，求的中点E到弦BC的距离．
解：(1)延长BA，CD相交于点O，设内圆弧半径为r，
则AB＝CD＝OA＝OD＝r，所以＝rα，＝2rα，
所以rα＋2rα＋2r＝2l，则r＝，
所以S扇环＝S扇形OBC－S扇形OAD
＝×2rα×2r－×rα×r＝αr2
＝≤＝，
当且仅当9α＝，即α＝(负值已舍去)时，S扇环取得最大值，最大值为.
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(2)连接OE，设OE交BC于点F，则由垂径定理得OE⊥BC，则的中点E到弦BC的距离为EF，
∠BOE＝∠BOC＝1，
由(1)知，r＝＝＝，
所以OF＝cos 1，
所以EF＝OE－OF＝2r－cos 1＝(1－cos 1).
所以点E到弦BC的距离为(1－cos 1).