7．2.1　三角函数的定义（教师版）

7．2　任意角的三角函数
7．2.1　三角函数的定义
1.理解三角函数的定义，会求给定角的三角函数值．　2.掌握各象限角的三角函数值的符号规律．
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在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示．
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定义sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考1　定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？
提示：不变．
思考2　如图，如果一个锐角α的终边在第一象限，终边上有一点P(x，y)，且x2＋y2＝1，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？
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提示：sin α＝y，cos α＝x，tan α＝；能．
前提 如图，对于任意角α来说，设P(x，y)是α终边上异于原点的任意一点，r＝ INCLUDEPICTURE "../../../../20cs6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20cs6.TIF" \* MERGEFORMAT
定义 正弦 一般地，称________为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝________
余弦 一般地，称________为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝________
正切 当角α的终边不在y轴上时，称________为角α的正切，记作tan α，即tan α＝________
角α的正弦、余弦与正切，都称为α的____________________
[答案自填] 　　　　　
三角函数
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例1)已知角α的终边经过点P(4，－3)，点P到坐标原点O的距离为r，则cos α＋sin α的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
【解析】　根据题意，r＝OP＝＝5，
所以sin α＝－，cos α＝，
所以cos α＋sin α＝＋(－)＝.故选C.
【答案】　C
【变式探究】
1．(条件变式)将本例中的“已知角α的终边经过点P(4，－3)”变为“设函数f(x)＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象过定点P，且点P在角α的终边上”，求cos α＋sin α的值．
解：对于函数f(x)＝ax＋1＋1，令x＋1＝0，
所以x＝－1，f(－1)＝2，故f(x)＝ax＋1＋1的图象过定点P(－1，2)，r＝OP＝＝，
所以cos α＝－＝－，sin α＝＝，
所以cos α＋sin α＝－＋＝.
2．(综合变式)将本例中“点P(4，－3)”变为“点P(4a，－3a)(a≠0)” 求sin θ，cos θ，tan θ的值．
解：当a>0时，sin θ＝＝－，
cos θ＝＝，tan θ＝＝－；
当a<0时，sin θ＝＝，
cos θ＝＝－，
tan θ＝＝－.
综上所述，tan θ＝－；
当a>0时，sin θ＝－，cos θ＝；
当a<0时，sin θ＝，cos θ＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
坐标法求三角函数值的步骤
(1)在角α的终边上任选一点P(x，y)，求出点P到原点的距离r(r>0)；
(2)根据sin α＝，cos α＝，tan α＝，求出三角函数值．　
[跟踪训练1] (1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边过点P(2，－2)，则cos θ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.因为角θ的终边过点P(2，－2)，所以P到原点的距离r＝ ＝4，由三角函数的定义知cos θ＝＝.故选A.
(2)若函数f(x)＝loga(x－2)＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点A，若点A在角α的终边OP上(O是坐标原点)，则tan α＝__________．
解析：由对数函数的性质易知函数f(x)＝loga(x－2)＋1过定点A(3，1)，点A在角α的终边OP上，由三角函数的定义可得tan α＝＝.
答案：
如图所示：
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正弦：________象限正，______象限负．
余弦：________象限正，______象限负．
正切：________象限正，______象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
[答案自填] 一二　三四　一四　二三
一三　二四
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4、例5)(1)设角α的始边为x轴的正半轴，则“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)tan 125°sin 223°______________0.(填“>”或“<”)
【解析】　(1)当sin α>0时，取α＝，满足sin α>0，但此时角α的终边在第一象限，即充分性不成立；
当角α的终边在第二象限时，则终边上的任一点纵坐标都大于0，故sin α＝>0，即必要性成立；
所以“sin α>0”是“角α的终边在第二象限”的必要不充分条件．故选B.
(2)因为125°是第二象限角，所以tan 125°<0；223°为第三象限角，所以sin 223°<0，
所以tan 125°sin 223°>0.
【答案】　(1)B　(2)>
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
判断三角函数值符号的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限；
(2)定符号：利用三角函数值的符号变化规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．　
[跟踪训练2] (1)当x为第四象限角时，＋＋＝(　　)
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B.由x为第四象限角，则sin x<0，cos x>0，tan x<0，所以＋＋＝＋＋＝－1.故选B.
(2)已知tan x<0且cos x<0，则角x的终边在第__________象限．
解析：由tan x<0，得角x的终边在第二、四象限，因为 cos x<0，所以角x的终边在第二、三象限或x轴负半轴上，由于上述条件要同时成立，所以角x的终边在第二象限．
答案：二
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A(1，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝(　　)
A．－3 B．3
C．±3 D．±2
(2)若角α的终边在直线3x＋y＝0上，则cos α＝________．
【解析】　(1)因为sin θ＝－<0，A(1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得＝－，解得y＝－3(正值已舍去).故选A.
(2)因为角α的终边在直线3x＋y＝0上，所以角α的终边在第二象限或第四象限．当角α的终边在第二象限时，在角α的终边上取一点P(－1，3)，则点P到原点的距离r＝＝，所以cos α＝＝＝－.
当角α的终边在第四象限时，在角α的终边上取一点P′(1，－3)，则点P′到原点的距离r′＝＝，
所以cos α＝＝.综上，cos α＝或cos α＝－.
【答案】　(1)A　(2)或－
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
(2)由于角的终边是一条射线，则终边在已知直线上的角包含两类角，求解时应注意分类处理．　
[跟踪训练3] (1)已知角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝－，则cos α的值是(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：选B.因为角α的终边经过点P(－4，m)，且tan α＝＝－，解得m＝3，即点P(－4，3)，由三角函数的定义可得cos α＝＝－.故选B.
(2)请写出终边落在射线y＝x(x≥0)上的一个角__________．(用弧度制表示)
解析：设θ的终边落在射线y＝x(x≥0)上，则θ为第一象限角，取y＝x(x≥0)上的一个点A(1，)，根据三角函数的定义可得，tan θ＝＝，所以可取θ＝.
答案：(答案不唯一)
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．sin ＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选C.在平面直角坐标系中作∠AOB＝，在终边OB上取点P，使OP的长为1.
由于点P在第四象限，OP与x轴正方向的夹角为∠POA＝，因此可得点P的坐标为(，－)，所以sin ＝－.故选C.
2．(多选)设α＝210°＋k·360°(k∈Z)，则下列判断正确的是(　　)
A．sin α>0 B．tan α>0
C．cos α<0 D．sin αcos α<0
解析：选BC.由题易知α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，tan α>0，sin αcos α>0.故选BC.
3．(教材P18T1改编)已知平面直角坐标系xOy，点P在半径为2的圆O上，现点P从圆O与y轴正半轴的交点A出发按顺时针方向运动了圆周，则此时点P的纵坐标为________．
解析：由题意，点P顺时针旋转了60°，故∠xOP＝30°，sin ∠xOP＝，所以yP＝2sin ∠xOP＝1.
答案：1
4．(教材P17T1改编)已知角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，求sin α，cos α，tan α的值．
解：因为角α终边上一点P的坐标是(5a，12a)(a<0)，所以令x＝5a，y＝12a(a<0)，
所以P到原点的距离r＝＝＝13|a|，因为a<0，所以r＝－13a，所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：三角函数的概念；三角函数值的求法；三角函数在各象限的符号．
2．须贯通：任意角α的三角函数值，只与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．
3．应注意：角α的正切函数有意义需满足{α|α≠＋kπ，k∈Z}．