7．2.2 单位圆与三角函数线（教师版）
文档属性
| 名称 | 7．2.2 单位圆与三角函数线（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 323.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
7．2.2 单位圆与三角函数线
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 设点P(x，y)，点P到原点的距离为1，那么x与y具有怎样的关系？若点P是角α终边上的点，则点P的坐标又可以如何表示？
提示：x2＋y2＝1，P(cos α，sin α).
思考2 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT有什么关系？
INCLUDEPICTURE "../../../../BSB1a.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../BSB1a.TIF" \* MERGEFORMAT
提示：MP，OM，AT三条线段的长度分别为|sin α|，|cos α|，|tan α|.
1．单位圆
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为____________．因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为________________．
2．三角函数线
INCLUDEPICTURE "../../../../A11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../A11.TIF" \* MERGEFORMAT
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
点拨 三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长度，其正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值．
[答案自填] 单位圆 (cos α，sin α)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)在单位圆中，作出角－的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出角－的正弦、余弦和正切值．
【解】 如图，作角－的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，点M为垂足．直线x＝1过点A(1，0)且与角－的终边所在直线交于点T.
INCLUDEPICTURE "../../../../20CS9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS9.TIF" \* MERGEFORMAT
所以角－的正弦线为，余弦线为，正切线为.依题意∠POM＝，所以MP＝，OM＝，AT＝，所以点P坐标为(－，－)，
所以sin (－)＝－，cos (－)＝－，
tan (－)＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从坐标为(1，0)的点A引单位圆的切线与角的终边交于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
[跟踪训练1] 角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．以上都不对
解析：选C.与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．
二 利用三角函数线比较三角函数值的大小
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 比较大小：
sin 与sin ；tan 与tan .
【解】 如图所示，在单位圆中作出对应的正弦线、正切线分别为和.
INCLUDEPICTURE "../../../../20cs10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20cs10.TIF" \* MERGEFORMAT
作出对应的正弦线、正切线分别为和.
由图可知||>||，||>||.
又tan 与tan 均取负值，
故sin >sin ，taneq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤
(1)角的位置要“对号入座”；
(2)比较三角函数线的长度；
(3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负．
[跟踪训练2] 若－<α<－，则sin α，cos α，tan α 的大小关系为________．(用“<”连接)
解析：如图，在单位圆中，作出满足－<α<－的一个角及其余弦线、正弦线、正切线.
INCLUDEPICTURE "../../../../20cs11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20cs11.TIF" \* MERGEFORMAT
由图知，||<||<||，
所以－||<－||<||，
即sin α答案：sin αINCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≥.
【解】 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB之间的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
INCLUDEPICTURE "../../../../20CS12.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS12.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)作直线x＝交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD之间的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ－≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用三角函数线解基本的三角不等式的步骤
(1)作出使得等号成立的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
[跟踪训练3] 求y＝lg (1－cos x)的定义域．
解：因为1－cos x＞0，
所以cos x＜，所以2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../../../A16.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../A16.TIF" \* MERGEFORMAT
所以函数y的定义域为
(k∈Z).
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(－，)，则cos α的值为( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B.由三角函数的定义可得cos α＝－.故选B.
2．(多选)(教材P21T1改编)已知角α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选AC.由题意知，角α的终边为第一、三象限的角平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或α＝.
3．已知<θ<，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，，，则||，||，||的大小关系为____________.(用“>”连接)
解析：如图，可知||>||>||.
INCLUDEPICTURE "../../../../20ca+1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20ca+1.TIF" \* MERGEFORMAT
答案：||>||>||
4．不等式sin x≤的解集为___________________________________．
解析：如图，作出满足sin x＝的角的正弦线M1P1和M2P2，∠M2OP2＝，∠M2OP1＝.
INCLUDEPICTURE "../../../../BSB2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../BSB2.TIF" \* MERGEFORMAT
当角的终边位于图中阴影部分(包括边界)时满足sin x≤，因此不等式sin x≤的解集为
.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：单位圆；三角函数线．
2．须贯通：利用三角函数线比较三角函数的大小，注意数形结合思想的应用．
3．应注意：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负．
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 设点P(x，y)，点P到原点的距离为1，那么x与y具有怎样的关系？若点P是角α终边上的点，则点P的坐标又可以如何表示？
提示：x2＋y2＝1，P(cos α，sin α).
思考2 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT有什么关系？
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提示：MP，OM，AT三条线段的长度分别为|sin α|，|cos α|，|tan α|.
1．单位圆
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为____________．因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为________________．
2．三角函数线
INCLUDEPICTURE "../../../../A11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../A11.TIF" \* MERGEFORMAT
正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
点拨 三角函数值可用三角函数线表示，其绝对值就是三角函数线的长度，其正负号可以这样确定：正弦线、正切线的方向与纵轴的正方向相同时为正值，相反时为负值；余弦线的方向与横轴的正方向相同时为正值，相反时为负值．
[答案自填] 单位圆 (cos α，sin α)
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)在单位圆中，作出角－的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出角－的正弦、余弦和正切值．
【解】 如图，作角－的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，点M为垂足．直线x＝1过点A(1，0)且与角－的终边所在直线交于点T.
INCLUDEPICTURE "../../../../20CS9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS9.TIF" \* MERGEFORMAT
所以角－的正弦线为，余弦线为，正切线为.依题意∠POM＝，所以MP＝，OM＝，AT＝，所以点P坐标为(－，－)，
所以sin (－)＝－，cos (－)＝－，
tan (－)＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从坐标为(1，0)的点A引单位圆的切线与角的终边交于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
[跟踪训练1] 角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．以上都不对
解析：选C.与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．
二 利用三角函数线比较三角函数值的大小
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 比较大小：
sin 与sin ；tan 与tan .
【解】 如图所示，在单位圆中作出对应的正弦线、正切线分别为和.
INCLUDEPICTURE "../../../../20cs10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20cs10.TIF" \* MERGEFORMAT
作出对应的正弦线、正切线分别为和.
由图可知||>||，||>||.
又tan 与tan 均取负值，
故sin >sin ，tan
利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤
(1)角的位置要“对号入座”；
(2)比较三角函数线的长度；
(3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负．
[跟踪训练2] 若－<α<－，则sin α，cos α，tan α 的大小关系为________．(用“<”连接)
解析：如图，在单位圆中，作出满足－<α<－的一个角及其余弦线、正弦线、正切线.
INCLUDEPICTURE "../../../../20cs11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20cs11.TIF" \* MERGEFORMAT
由图知，||<||<||，
所以－||<－||<||，
即sin α
(1)sin α≥；(2)cos α≥.
【解】 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB之间的区域(如图1所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
INCLUDEPICTURE "../../../../20CS12.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS12.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)作直线x＝交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD之间的区域(如图2所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ－≤α≤2kπ＋，k∈Z}．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用三角函数线解基本的三角不等式的步骤
(1)作出使得等号成立的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
[跟踪训练3] 求y＝lg (1－cos x)的定义域．
解：因为1－cos x＞0，
所以cos x＜，所以2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../../../A16.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../A16.TIF" \* MERGEFORMAT
所以函数y的定义域为
(k∈Z).
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(－，)，则cos α的值为( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B.由三角函数的定义可得cos α＝－.故选B.
2．(多选)(教材P21T1改编)已知角α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选AC.由题意知，角α的终边为第一、三象限的角平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或α＝.
3．已知<θ<，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，，，则||，||，||的大小关系为____________.(用“>”连接)
解析：如图，可知||>||>||.
INCLUDEPICTURE "../../../../20ca+1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20ca+1.TIF" \* MERGEFORMAT
答案：||>||>||
4．不等式sin x≤的解集为___________________________________．
解析：如图，作出满足sin x＝的角的正弦线M1P1和M2P2，∠M2OP2＝，∠M2OP1＝.
INCLUDEPICTURE "../../../../BSB2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../BSB2.TIF" \* MERGEFORMAT
当角的终边位于图中阴影部分(包括边界)时满足sin x≤，因此不等式sin x≤的解集为
.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：单位圆；三角函数线．
2．须贯通：利用三角函数线比较三角函数的大小，注意数形结合思想的应用．
3．应注意：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负．