7．2.3　课后达标 检测（教师版）

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1．已知x∈(－，0)，cos x＝，则tan x＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B.因为x∈(－，0)，cos x＝，
所以sin x＝－＝－.
所以tan x＝＝－.故选B.
2．已知P(1，3)为角α终边上一点，则＝(　　)
A．－7 B．－1
C．1 D．2
解析：选C.因为P(1，3)为角α终边上一点，所以tan α＝＝3，所以＝＝＝1.故选C.
3．若α为第二象限角，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．sin α D．cos α
解析：选B.因为α为第二象限角，则sin α>0，cos α<0，＝＝＝＝－1.故选B.
4．已知A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝，则△ABC是(　　)
A.钝角三角形
B．不等边的锐角三角形
C．直角三角形
D．正三角形
解析：选A.因为sin A＋cos A＝，
所以(sin A＋cos A)2＝sin 2A＋cos 2A＋2sin A·cos A＝1＋2sin A cos A＝，
所以sin A cos A＝－，又因为A∈(0，π)，所以sin A>0，cos A<0，所以A为钝角，所以△ABC是钝角三角形．故选A.
5．设－<α<0，若＝，则sin α＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选C.由已知得＝，故＝，因为－<α<0，所以sin α<0，故＝，解得cos α＝，则sin α＝－＝－.故选C.
6．(多选)已知θ∈(0，π)，cos θ＝－，则下列结论正确的是(　　)
A．θ为第二象限角
B．位于第一象限或第三象限
C．tan θ＝－
D．4sin θcos θ－2cos 2θ＝－
解析：选AD.因为θ∈(0，π)，cos θ＝－，所以<θ<π，θ为第二象限角，A正确；由上知，<<，位于第一象限，B错误；因为θ∈(0，π)，cos θ＝－，所以sin θ＝＝，所以tan θ＝＝－，C错误；由上知，4sin θcos θ－2cos 2θ＝4××(－)－2×(－)2＝－，D正确．故选AD.
7．若sin α＝，且tan α<0，则cos α＝________．
解析：因为sin α＝，tan α＝<0，所以cos α<0，
所以cos α＝－＝－＝－.
答案：－
8．若tan θ＝，则sin 2θ－sin θcos θ＝________．
解析：因为tan θ＝，
则sin 2θ－sin θcos θ＝＝
＝＝－.
答案：－
9.＋3sin 2x＝________．
解析：＋3sin 2x
＝＋3sin 2x
＝＋3sin 2x
＝＋3sin 2x
＝＋3sin 2x
＝3cos 2x＋3sin 2x＝3(cos 2x＋sin 2x)＝3.
答案：3
10．已知sin α＝，且α是第二象限角．求：
(1)tan α的值；
(2)的值．
解：(1)因为sin α＝，且α是第二象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
(2)＝
＝＝＝.
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11．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则tan α＝(　　)
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A． B．
C． D．
解析：选B.因为直角三角形中较小的内角为α，大正方形的面积为1，则直角三角形的两条直角边分别为sin α，cos α，所以小正方形的边长为cos α－sin α，
所以(cos α－sin α)2＝，
即cos α－sin α＝，①
2sin αcos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋＝，
所以sin α＋cos α＝.②
由①②得cos α＝，sin α＝，
所以tan α＝＝＝.故选B.
12．(多选)已知tan θ＝－4，则下列结果正确的是(　　)
A．sin 2θ＝
B．cos 2θ－sin 2θ＝－
C．3sin θcos θ＝－
D．cos 2θ＝
解析：选ABC.sin 2 θ＝＝＝，故A正确；cos 2 θ－sin 2 θ＝＝＝－，故B正确；3sin θcos θ＝＝＝－，故C正确；cos 2 θ＝＝＝，故D错误．故选ABC.
13．若sin α＝，cos α＝，则tan α＝________．
解析：由已知可得，sin 2 α＋cos 2 α＝1，
所以()2＋()2＝＝1，整理可得m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝＝0；
当m＝3时，sin α＝，cos α＝，tan α＝＝.
综上所述，tan α＝0或tan α＝.
答案：0或
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α的终边与单位圆交于点A(，)，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f(θ).
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(1)求f(θ)的表达式，并求f()的值；
(2)若f(θ－)＝，θ∈(0，π)，求tan θ的值．
解：(1)因为锐角α的终边与单位圆交于点A(，)，则cos α＝，sin α＝，可知α＝，又因为射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，所以f(θ)＝cos (θ＋α)＝cos (θ＋)，故f()＝cos (＋)＝cos ＝－.
(2)由题得f(θ－)＝cos θ＝，θ∈(0，π)，
则sin θ＝＝，所以tan θ＝＝2.
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15．若θ为第三象限角，且tan θ＝2，则 － 的值是(　　)
A．4 B．－4
C． D．－
解析：选B.由题意可得 －＝－＝－，且θ为第三象限角，则cos θ<0，1＋sin θ>0，1－sin θ>0，故 －＝－＋＝－2tan θ＝－4.故选B.
16．已知sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根．
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求m的值；
(3)若0<α<π，求sin α－cos α的值．
解：(1)因为sin α，cos α是关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0的两根，
所以sin α＋cos α＝－.
(2)由(1)得sin α＋cos α＝－，sin αcos α＝－，且Δ＝12－8(－m)≥0，
所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝，
所以1－m＝，得m＝，满足Δ＝1＋8m≥0，所以m＝.
(3)由(2)可得sin α＋cos α＝－<0，
sin αcos α＝－<0，
因为0<α<π，所以sin α>0，cos α<0，
所以sin α－cos α＝
＝＝.