7．2.3 同角三角函数的基本关系式（教师版）
文档属性
| 名称 | 7．2.3 同角三角函数的基本关系式（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 313.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
7．2.3 同角三角函数的基本关系式
1.理解同角三角函数的基本关系式． 2.能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 观察下表，你能发现什么？
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
思考2 如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．你能验证思考1的猜想吗？
INCLUDEPICTURE "../../../../ASXRA11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../ASXRA11.TIF" \* MERGEFORMAT
提示：若余弦不为0，则正切等于正弦与余弦的比值，即tan α＝＝；
因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.
1．基本关系
类别 关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝____ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于____
商数关系 ＝________(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的____等于角α的正切
2.公式变形
sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
点拨 (1)“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的．
[答案自填] 1 1 tan α 商
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α；
(2)已知tan α＝2，求sin α和cos α的值．
【解】 (1)cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝，
又α是第二象限角，所以cosα＝－，tan α＝＝－.
(2)由＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝.
又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角．
当α是第一象限角时，则cos α＝， sin α＝；当α是第三象限角时，则cos α＝－， sin α＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解．
INCLUDEPICTURE "../../../../RTT1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RTT1.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解．
INCLUDEPICTURE "../../../../RTT2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RTT2.TIF" \* MERGEFORMAT
[提醒] 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)进行讨论．
[跟踪训练1] (1)已知α为第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B.由题意，sin α＝－cos α，即cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，联立可得sin 2α＝.又α为第四象限角，则sin α＝－.故选B.
(2)已知α为钝角，sin α＝，则cos α＝_____________________.
解析：因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，因为α为钝角，所以cos α＝－.
答案：－
角度1 利用弦切互化求值
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知＝1.
(1)求tan α的值；
(2)求2sin2α－3cos2α＋sinαcos α的值．
【解】 (1)方法一：＝1，等式左边的分子，分母同除以cos α得，
＝1，即5tan α＋3＝4tan α－2，
解得tan α＝－5.
方法二：由＝1可得4sin α－2cos α＝5sin α＋3cos α，即sin α＝－5cos α，
所以tan α＝＝－5.
(2)2sin2α－3cos2α＋sinαcos α
＝
＝＝
＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
tanα与sin α，cos α的齐次式的相互转化
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
[跟踪训练2] 已知tan α＝2，计算：
(1)；(2)cos αsin α.
解：(1)因为tan α＝2，所以＝＝＝3.
(2)因为tan α＝2，所以cos αsin α＝＝＝＝.
角度2 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，求：
(1)sin αcos α的值；(2)sin α＋cos α的值．
【解】 (1)由sin α－cos α＝可得(sin α－cos α)2＝ 1－2sin αcos α＝ sin αcos α＝.
(2)由sin αcos α＝>0和α∈(0，π)可得sin α>0，cos α>0，故α∈(0，)，故(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ sin α＋cos α＝.
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变，求tan α的值．
解：由本例(2)可知sin α＋cos α＝，再结合已知条件sin α－cos α＝，联立方程组，
解得sin α＝，cos α＝，
所以tan α＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
sin θ±cos θ与sin θcos θ的关系
sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.
[注意] 求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时，往往先根据条件求出并利用sin θcos θ的值，进而根据sin θcos θ的符号来确定角θ的终边位置，从而确定sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号．
[跟踪训练3] 若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则－的值为__________．
解析：由sin α＋cos α＝ (sin α＋cos α)2＝ sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，所以α∈(，π)，
因此cos α－sin α
＝－
＝－＝－，
于是－＝＝＝.
答案：
角度1 三角函数式的化简
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 化简：
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtanα＋＋2sin αcos α.
【解】 (1)原式
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)原式＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
【变式探究】
(综合变式)在本例(2)中，将式子中的“10°”换成“锐角α”，化简.
解：＝
＝＝＝1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
角度2 三角函数式的证明
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例5)求证：＝.
【证明】 方法一：左边
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
方法二：因为(sin α－cos α＋1)cos α
＝sin αcos α－cos2α＋cosα
＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)
＝cosα(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α)
＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α)
＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，
且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，
所以＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
[跟踪训练4] (1)化简：＋(1＋tan2α)·cos2α.
解：原式
＝＋(1＋)·cos2α
＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
(2)求证：＝.
证明：方法一：左边
＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
方法二：右边＝＝
＝
＝＝左边．
所以原等式成立．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．若α为第三象限角，则 的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选D.因为α为第三象限角，则sin α<0，因此，＝＝－＝－2.故选D.
2．(多选)(教材P26练习AT1(1)改编)已知θ∈(－，)，且sin θ＝，则关于θ表述正确的是( )
A.θ＝ B．cos θ＝－
C．tan θ＝ D．tan θ＝
解析：选AD.因为θ∈(－，)，且sin θ＝，所以θ∈(0，)，则θ＝，cos θ＝，tan θ＝.故选AD.
3．(教材P26练习BT2(4)改编)已知＝4，则tan θ＝____________．
解析：因为＝4，所以＝4，解得tan θ＝.
答案：
4．(1)化简：；
(2)证明：tan2αsin2α＝tan2α－sin2α.
解：(1)原式＝
＝＝cos 2θ.
(2)证明：右边＝tan 2α－sin 2α＝－sin 2α
＝sin 2α(－1)＝sin 2α·＝sin 2α·
＝sin 2αtan 2α＝左边，所以原等式成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明．
2．须贯通：同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，在化简、求值时，灵活运用“切化弦”“弦化切”的技巧，运用由部分到整体、整体代换的方法．
3．应注意：运用平方关系求值时，角α的取值范围决定三角函数值的符号．
1.理解同角三角函数的基本关系式． 2.能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1 观察下表，你能发现什么？
α 0
sin α 0 1
cos α 1 0
tan α 0 1 不存在
提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1.
思考2 如图，设点P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点．你能验证思考1的猜想吗？
INCLUDEPICTURE "../../../../ASXRA11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../ASXRA11.TIF" \* MERGEFORMAT
提示：若余弦不为0，则正切等于正弦与余弦的比值，即tan α＝＝；
因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1，即sin2α＋cos2α＝1.
1．基本关系
类别 关系式 文字表述
平方关系 sin2α＋cos2α＝____ 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于____
商数关系 ＝________(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的____等于角α的正切
2.公式变形
sin2α＋cos2α＝1
tan α＝
点拨 (1)“同一个角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在式子有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin2α是(sin α)2的缩写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sinα2，后者表示α2的正弦值，两者是不同的．
[答案自填] 1 1 tan α 商
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例1)(1)已知sin α＝，并且α是第二象限角，求cos α和tan α；
(2)已知tan α＝2，求sin α和cos α的值．
【解】 (1)cos2α＝1－sin2α＝1－()2＝，
又α是第二象限角，所以cosα＝－，tan α＝＝－.
(2)由＝tan α＝2，可得sin α＝2cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，故(2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝.
又由tanα＝2>0，知α是第一或第三象限角．
当α是第一象限角时，则cos α＝， sin α＝；当α是第三象限角时，则cos α＝－， sin α＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解．
INCLUDEPICTURE "../../../../RTT1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RTT1.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解．
INCLUDEPICTURE "../../../../RTT2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RTT2.TIF" \* MERGEFORMAT
[提醒] 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常根据三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)进行讨论．
[跟踪训练1] (1)已知α为第四象限角，且tan α＝－，则sin α＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选B.由题意，sin α＝－cos α，即cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，联立可得sin 2α＝.又α为第四象限角，则sin α＝－.故选B.
(2)已知α为钝角，sin α＝，则cos α＝_____________________.
解析：因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，因为α为钝角，所以cos α＝－.
答案：－
角度1 利用弦切互化求值
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知＝1.
(1)求tan α的值；
(2)求2sin2α－3cos2α＋sinαcos α的值．
【解】 (1)方法一：＝1，等式左边的分子，分母同除以cos α得，
＝1，即5tan α＋3＝4tan α－2，
解得tan α＝－5.
方法二：由＝1可得4sin α－2cos α＝5sin α＋3cos α，即sin α＝－5cos α，
所以tan α＝＝－5.
(2)2sin2α－3cos2α＋sinαcos α
＝
＝＝
＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
tanα与sin α，cos α的齐次式的相互转化
(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．
(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．
[跟踪训练2] 已知tan α＝2，计算：
(1)；(2)cos αsin α.
解：(1)因为tan α＝2，所以＝＝＝3.
(2)因为tan α＝2，所以cos αsin α＝＝＝＝.
角度2 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，求：
(1)sin αcos α的值；(2)sin α＋cos α的值．
【解】 (1)由sin α－cos α＝可得(sin α－cos α)2＝ 1－2sin αcos α＝ sin αcos α＝.
(2)由sin αcos α＝>0和α∈(0，π)可得sin α>0，cos α>0，故α∈(0，)，故(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ sin α＋cos α＝.
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变，求tan α的值．
解：由本例(2)可知sin α＋cos α＝，再结合已知条件sin α－cos α＝，联立方程组，
解得sin α＝，cos α＝，
所以tan α＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
sin θ±cos θ与sin θcos θ的关系
sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ.
[注意] 求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值时，往往先根据条件求出并利用sin θcos θ的值，进而根据sin θcos θ的符号来确定角θ的终边位置，从而确定sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号．
[跟踪训练3] 若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则－的值为__________．
解析：由sin α＋cos α＝ (sin α＋cos α)2＝ sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝ sin αcos α＝－<0，
又α∈(0，π)，所以α∈(，π)，
因此cos α－sin α
＝－
＝－＝－，
于是－＝＝＝.
答案：
角度1 三角函数式的化简
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 化简：
(1)－；
(2)；
(3)sin2αtanα＋＋2sin αcos α.
【解】 (1)原式
＝
＝＝＝－2tan2α.
(2)原式＝
＝＝1.
(3)原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sin αcos α
＝
＝＝.
【变式探究】
(综合变式)在本例(2)中，将式子中的“10°”换成“锐角α”，化简.
解：＝
＝＝＝1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
角度2 三角函数式的证明
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (对接教材例5)求证：＝.
【证明】 方法一：左边
＝
＝
＝
＝＝＝右边．
所以原等式成立．
方法二：因为(sin α－cos α＋1)cos α
＝sin αcos α－cos2α＋cosα
＝sin αcos α＋cos α－(1－sin2α)
＝cosα(sin α＋1)－(1＋sin α)(1－sin α)
＝(1＋sin α)(cos α－1＋sin α)
＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，
且sin α＋cos α－1≠0，cos α≠0，
所以＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
证明三角恒等式常用的方法
(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简．
(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异．
(4)变更命题法，如要证明＝，可证ad＝bc或证＝等．
(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“＝1”．
[跟踪训练4] (1)化简：＋(1＋tan2α)·cos2α.
解：原式
＝＋(1＋)·cos2α
＝＋·cos2α
＝1＋1＝2.
(2)求证：＝.
证明：方法一：左边
＝
＝＝＝＝右边．
所以原等式成立．
方法二：右边＝＝
＝
＝＝左边．
所以原等式成立．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．若α为第三象限角，则 的值为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选D.因为α为第三象限角，则sin α<0，因此，＝＝－＝－2.故选D.
2．(多选)(教材P26练习AT1(1)改编)已知θ∈(－，)，且sin θ＝，则关于θ表述正确的是( )
A.θ＝ B．cos θ＝－
C．tan θ＝ D．tan θ＝
解析：选AD.因为θ∈(－，)，且sin θ＝，所以θ∈(0，)，则θ＝，cos θ＝，tan θ＝.故选AD.
3．(教材P26练习BT2(4)改编)已知＝4，则tan θ＝____________．
解析：因为＝4，所以＝4，解得tan θ＝.
答案：
4．(1)化简：；
(2)证明：tan2αsin2α＝tan2α－sin2α.
解：(1)原式＝
＝＝cos 2θ.
(2)证明：右边＝tan 2α－sin 2α＝－sin 2α
＝sin 2α(－1)＝sin 2α·＝sin 2α·
＝sin 2αtan 2α＝左边，所以原等式成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：同角三角函数的基本关系，利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明．
2．须贯通：同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，在化简、求值时，灵活运用“切化弦”“弦化切”的技巧，运用由部分到整体、整体代换的方法．
3．应注意：运用平方关系求值时，角α的取值范围决定三角函数值的符号．