7．2.4　第1课时　课后达标 检测（教师版）

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1．cos 840°的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A.cos 840°＝cos (2×360°＋120°)＝cos 120°＝cos (180°－60°)＝－cos 60°＝－.故选A.
2．若sin α＝，α∈(，π)，则cos (π－α)的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选C.因为sin α＝，α∈(，π)，所以cos α＝－＝－，则cos(π－α)＝－cos α＝.故选C.
3．如图，点P为角α的终边与单位圆O的交点，tan (α＋π)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.由题可知，cos α＝，且α为第一象限角，根据同角三角函数的基本关系可得sin α＝＝，所以tanα＝＝，所以tan (α＋π)＝tan α＝.故选D.
4．已知cos (－x)＝－，则cos (＋x)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选A.cos (＋x)＝cos [π－(－x)]＝－cos (－x)＝.故选A.
5．已知P(1，3)为角α终边上一点，则
＝(　　)
A．－ B．1
C．2 D．3
解析：选B.因为P(1，3)为角α终边上一点，所以tan α＝3，所以＝＝＝＝1.故选B.
6．(多选)若n∈Z，则sin nπ＋cos (n＋1)π的取值可能是(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选AC.当n＝2k，k∈Z时，sin 2kπ＋cos (2k＋1)π＝0－1＝－1；当n＝2k＋1，k∈Z时，sin (2k＋1)π＋cos (2k＋2)π＝0＋1＝1.所以sin nπ＋cos (n＋1)π的值为－1，1.故选AC.
7．tan －cos ＝________．
解析：tan －cos ＝tan (π＋)－cos (π＋)＝tan ＋cos ＝1＋＝.
答案：
8．若cos (π＋α)＝－，<α<2π，则sin (α－2π)＝________．
解析：由cos (π＋α)＝－cos α＝－，
得cos α＝，由<α<2π，
则sin α＝－＝－＝－，
故sin(α－2π)＝sin α＝－.
答案：－
9．已知sin (α＋π)＝，且sin αcos α<0，则 ＝________．
解析：因为sin (α＋π)＝，
所以sin α＝－<0.
又sin αcos α<0，所以cos α>0，
所以cos α＝＝，
所以tanα＝＝－，
原式＝＝
＝＝.
答案：
10．化简下列各式．
(1)；
(2)sin (π＋α)cos (－α)＋sin (2π－α)cos (π－α)＋sin α cos (π＋α)tan (－π－α).
解：(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝－sin α cos α＋sin (－α)(－cos α)＋sin α(－cos α)·(－tan α)＝－sin α cos α＋sin α·cos α＋sin α cos α tan α
＝sin αcos α·＝sin2α.
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11．已知函数f(x)＝a sin(πx＋α)＋b cos (πx＋β)＋1，且f(4)＝3，则f(985)＝(　　)
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选A.因为f(4)＝a sin (4π＋α)＋b cos (4π＋β)＋1＝a sin α＋b cos β＋1＝3，
可得a sin α＋b cos β＝2，
所以f(985)＝a sin (985π＋α)＋b cos (985π＋β)＋1＝a sin (π＋α)＋b cos (π＋β)＋1
＝－a sin α－b cos β＋1＝－(a sin α＋b cos β)＋1＝－1，
即f(985)＝－1.故选A.
12．(多选)已知sin (α－π)＋2cos (α－2π)＝0，则下列结论正确的是(　　)
A．tan α＝2
B．sin α－cos α＝
C．sin αcos α＋cos2α＝
D．＝
解析：选AC.由sin (α－π)＋2cos (α－2π)＝0 －sin α＋2cos α＝0 tan α＝2，故A正确；sin α cos α＋cos2α＝＝＝＝，故C正确；＝＝＝3，故D错误；因为tan α＝2>0，所以α为第一或第三象限角．
若α为第一象限角，
则
解得
所以sin α－cos α＝；若α为第三象限角，
则
解得
所以sin α－cos α＝－，所以B错误．故选AC.
13．若角α的终边过点(2，－3)，则角π＋α的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为____________．
解析：因为三角函数定义及角α的终边过点(2，－3)，
所以cos α＝＝，
sin α＝＝－，
所以cos (π＋α)＝－cos α＝－，
sin (π＋α)＝－sin α＝，
所以角π＋α的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为(－，).
答案：(－，)
14．已知f(α)＝
.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin (α－π)＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)
＝
＝＝cos α.
(2)由诱导公式可知sin (α－π)＝－sin α＝，即sin α＝－，又α是第三象限角，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以f(α)＝cosα＝－.
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15．如图，单位圆⊙O被点A1(1，0)，A2，A3，…，A12平均分成12份，以x轴的正半轴为始边，OAi(i＝1，2，…，12)为终边的角记为αi，则cos αi＝________，sin αi＝________．(说明：∑是一个连加符号，xi＝x1＋x2＋…＋xn)
解析：由题意得αi＋6＝αi＋π(i＝1，2，…，6)，所以cos αi＋6＝cos (αi＋π)＝－cos αi，所以cos αi＝0.
单位圆⊙O被平均分成12份，则α1＝0°，α2＝30°，α3＝60°，α4＝90°，α5＝120°，α6＝150°，α7＝180°，所以sin αi＝2＋.
答案：0　2＋
16．是否存在角α∈(－，)，β∈(0，π)，使等式同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：存在．因为等式
同时成立，
利用诱导公式化简得两式同时平方后相加得sin2α＋3cos2α＝2，
因为sin2α＋cos2α＝1，所以可得cos2α＝，
即cosα＝±，因为α∈(－，)，
所以cos α＝，α＝或α＝－.
当α＝时，代入cos α＝cos β得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，
此时也符合等式sin α＝sin β；
当α＝－时，代入cos α＝cos β得cos β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，
显然此时不符合等式sin α＝sin β，
综上所述，存在α＝，β＝满足条件．