7．2.4　第1课时　诱导公式①，②，③，④（教师版）

7．2.4　诱导公式
第1课时　诱导公式①，②，③，④
1.理解诱导公式①，②，③，④的推导方法．　2.能运用公式进行三角函数式的求值、化简以及证明．
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同学们，我们知道角α与角α＋2kπ(k∈Z)的终边相同，那么我们可以利用这一点把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°～360°角的三角函数值，对于90°～360°角的三角函数值，我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解呢？
思考1　我们是如何定义三角函数的？
提示：三角函数定义的核心是角的终边与单位圆的交点的坐标，终边相同的角的三角函数值相等．
思考2　画图观察角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？
提示：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，点P1与点P2关于原点对称．
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角 α＋2kπ(k∈Z) －α π－α π＋α
图示 INCLUDEPICTURE "../../../../20CS17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS19.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS19.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS20.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS20.TIF" \* MERGEFORMAT
与角α终边的关系 相同 关于____________轴对称 关于____________轴对称 关于__________对称
公式 ① ② ③ ④
正弦 sin (α＋2kπ)＝______(k∈Z) sin (－α)＝________ sin (π－α)＝________ sin (π＋α)＝________
续　表
角 α＋2kπ(k∈Z) －α π－α π＋α
余弦 cos (α＋2kπ)＝______(k∈Z) cos (－α)＝________ cos (π－α)＝________ cos (π＋α)＝________
正切 tan (α＋2kπ)＝______(k∈Z) tan (－α)＝________ tan (π－α)＝________ tan (π＋α)＝________
记忆口诀 函数名不变，符号看象限
点拨　诱导公式①～④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所对应的三角函数值的符号，α看成锐角，只是方便记忆公式，实际上α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z.
[答案自填] x　y　原点　sin α　－sin α
sin α　－sin α　cos α　cos α　－cos α
－cos α　tan α　－tan α　－tan α　tan α
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例3)求下列三角函数值．
(1)sin 1 320°；
(2)cos ；
(3)sin ＋tan －cos .
【解】　(1)sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin (180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
(2)cos ＝cos ＝cos
＝cos ＝－cos ＝－.
(3)sin ＋tan －cos
＝sin ＋tan －cos
＝sin ＋tan －cos
＝sin －tan ＋cos ＝－1＋＝0.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
INCLUDEPICTURE "../../../../20CS20A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../20CS20A.TIF" \* MERGEFORMAT 　
[跟踪训练1] (1)(多选)下列各式中，值为 的是(　　)
A．sin B．sin (－210°)
C．cos D．tan 240°
解析：选AB.sin ＝sin (π－)＝sin ＝，A正确；sin (－210°)＝－sin (180°＋30°)＝sin 30°＝，B正确；cos ＝cos (2π－)＝cos ＝，C错误；tan 240°＝tan (180°＋60°)＝tan 60°＝×＝，D错误．故选AB.
(2)计算：＝________．
解析：
＝
＝＝＝－1.
答案：－1
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)若sin (π－α)＝－，且α∈(－，0)，则cos (π＋α)的值为(　　)
A．± B．
C．－ D．
(2)已知α为锐角，若cos (α＋)＝，则cos (α＋)＝________．
【解析】　(1)由sin (π－α)＝－，
得sin α＝－，而α∈(－，0)，
于是cos α＝＝＝，
所以cos(π＋α)＝－cos α＝－.故选C.
(2)因为cos (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝cos [(α＋)＋π]
＝－cos (α＋)＝－.
【答案】　(1)C　(2)－
【变式探究】
(设问变式)本例(2)条件不变，求sin (－α)＝________．
解析：因为α为锐角，且cos (α＋)＝，
所以α＋也是锐角，所以sin (α＋)＝＝＝.
sin(－α)＝sin [π－(α＋)]＝sin (α＋)＝.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　
[跟踪训练2] (1)若tan (π＋α)＝－，则tan (3π－α)的值为(　　)
A． B．2
C．－ D．－2
解析：选A.由已知得tan (π＋α)＝tan α＝－，所以tan (3π－α)＝－tan α＝.故选A.
(2)已知cos (75°＋α)＝，且－180°<α<－90°，则sin (255°＋α)＝________．
解析：因为－180°<α<－90°，
所以－105°<75°＋α<－15°，又cos (75°＋α)＝，
所以sin (75°＋α)＝－＝－，
所以sin (255°＋α)＝sin (180°＋75°＋α)
＝－sin (75°＋α)＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例5)化简：
(1)；
(2).
【解】　(1)原式＝
＝＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的正切函数转化为正、余弦函数．　
[跟踪训练3] (1)已知f(α)＝
，则f(－)的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选A.f(α)＝
＝
＝＝－sin α.
所以f(－)＝－sin (－)＝sin ＝sin (4π＋)＝sin ＝.故选A.
(2)化简：＝________．
解析：
＝＝－tan α.
答案：－tan α
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P33T2(2)改编)计算：cos (－)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A.由诱导公式可得，cos (－)＝cos ＝cos (5π＋)＝cos (π＋)＝－cos ＝－.故选A.
2．(多选)设sin (3π－α)＝，α∈(，π)，以下正确的是(　　)
A．tan α＝
B．tan α＝－
C．cos α＝
D．cos α＝－
解析：选BD.因为sin (3π－α)＝sin α＝，α∈(，π)，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以tanα＝＝－.故选BD.
3．sin ＋cos －tan (－)＝________．
解析：sin ＋cos －tan (－)
＝sin (2π＋)＋cos (4π＋)－tan (－6π＋)
＝sin ＋cos －tan
＝＋－1＝0.
答案：0
4．已知sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°.
(1)求sin (127°＋α)的值；
(2)求cos (233°－α)的值．
解：(1)因为sin (53°－α)＝，
所以sin (127°＋α)＝sin [180°－(53°－α)]＝sin (53°－α)＝.
(2)因为sin (53°－α)＝，且－270°<α<－90°，
所以143°<53°－α<323°，又sin (53°－α)＝>0，
所以143°<53°－α<180°，
所以cos (53°－α)＝－
＝－＝－，
所以cos(233°－α)＝cos [180°＋(53°－α)]
＝－cos (53°－α)＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：特殊关系角的终边对称性，诱导公式①，②，③，④及应用．
2．须贯通：诱导公式①～④在化简、求值、证明过程中，一般遵循如下顺序：负化正→大化小→锐角→求值．
3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定；
(2)三角函数名称不变．