7．2.4　第2课时　诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧（教师版）

第2课时　诱导公式⑤，⑥，⑦，⑧
1.了解诱导公式⑤⑥⑦⑧的推导方法．　2.能够准确记忆诱导公式⑤⑥⑦⑧.　3.灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，前面我们利用单位圆定义了三角函数，并推出了诱导公式①～④，由单位圆可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，单位圆，这是一个多么美妙的图形！它就像一轮光芒四射的太阳，照耀我们的探究之路，又像一艘轮船，引领我们在知识的海洋里航行，这节课，我们将继续在单位圆中探寻三角函数的奥秘．
观察如图单位圆及角α与－α的终边．
INCLUDEPICTURE "../../../../25EA7.TIF" \* MERGEFORMAT
思考1　角α的终边与－α的终边有何关系？
提示：两角的终边关于直线y＝x对称．
思考2　若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？
提示：点P1与P2关于直线y＝x对称，点P2的坐标为(y，x).
1．诱导公式⑤
sin ＝____________；cos ＝____________．
2．诱导公式⑥
sin ＝____________；cos ＝____________．
3．诱导公式⑦
cos ＝____________；sin ＝____________．
4．诱导公式⑧
cos ＝____________；sin ＝____________．
[答案自填] cos α　sin α　cos α　－sin α　sin α　－cos α　－sin α　－cos α
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)诱导公式⑤⑥⑦⑧中的角α只能是锐角．(　　)
(2)sin (α－)＝cos α.(　　)
(3)若α为第二象限角，则sin (＋α)＝cos α.(　　)
(4)对任意角α， sin (－α)＝sin α都不成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．sin (α－)＝－cos α
B．cos (α－π)＝－cos α
C.tan (－α－π)＝－tan α
D．cos (＋α)＝sin α
解析：选ABC.对于A，sin (α－)＝－sin (－α)＝－cos α，故A正确；对于B，cos (α－π)＝cos (π－α)＝－cos α，故B正确；对于C，tan (－α－π)＝－tan (α＋π)＝－tan α，故C正确；对于D，cos (＋α)＝cos (2π＋＋α)＝cos (＋α)＝－sin α，故D错误．故选ABC.
3．计算：sin211°＋sin279°＝________．
解析：sin211°＋sin279°＝sin211°＋cos211°＝1.
答案：1
4．已知cos81°＝m，那么sin 729°＝________．
解析：sin 729°＝sin (360°×2＋9°)＝sin 9°＝sin (90°－81°)＝cos 81°＝m.
答案：m
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
公式⑤～⑧的记忆方法与口诀
(1)方法：±α，±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．
(2)口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(对接教材例8)化简：
＝(　　)
A．－1 B．1
C．tan2α D．－tanα
(2)已知cos ＝，则sin 的值为____________．
【解析】　(1)原式＝
＝－＝－tan α.故选D.
(2)sin ＝sin
＝cos ＝.
【答案】　(1)D　(2)
【变式探究】
(综合变式)若本例(2)条件改为“sin ＝，且α是第三象限角”，求sin 的值．
解：因为α是第三象限角，
所以－α是第二象限角，
又sin ＝，
所以－α是第二象限角，
所以cos ＝－，
所以sin ＝sin
＝－sin ＝－sin
＝－cos ＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)利用诱导公式进行化简求值时，要特别注意函数名称和符号的确定．
(2)解题的主要步骤：去负—脱周—化锐．
INCLUDEPICTURE "../../../../25ea10.TIF" \* MERGEFORMAT 　
[跟踪训练1] (1)若cos (α－)＝，则sin (－α)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选A.因为cos (α－)＝，
即cos [(α－)－]＝，所以sin (α－)＝，
则sin (－α)＝sin [－(α－)]＝－sin (α－)＝－.
故选A.
(2)已知tan α＝－，则的值为________．
解析：由题意知tan α＝－，
则＝
＝－＝－tan α＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 　求证：＋
＝.
【证明】　等式左边
＝＋
＝＋＝＝＝等式右边，所以原等式成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．　
[跟踪训练2] 求证：＝.　
证明：等式左边＝
＝
＝
＝
＝.
等式右边＝＝
＝＝.所以原等式成立．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P34 T2(1)改编)已知sin (－α)＝，则cos α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.因为sin (－α)＝，所以cos α＝.故选D.
2．(多选)cos (＋α)＝(　　)
A．sin (＋α) B．sin (－α)
C．cos (－＋α) D．cos (－α)
解析：选BD.sin (＋α)＝sin [π＋(＋α)]＝－sin (＋α)，A错误；
sin (－α)＝sin [－(＋α)]＝cos (＋α)，B正确；
cos (－＋α)＝cos (－π＋＋α)＝－cos (＋α)，C错误；
cos (－α)＝cos [2π－(＋α)]＝cos (＋α)，D正确．故选BD.
3．(教材P34T3(3)改编)化简：＝________．
解析：＝
＝＝1.
答案：1
4．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，求证：sin (＋)＝cos (－).
证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则＝.
所以cos (－)
＝cos (－)
＝cos (－－)＝cos [－(＋)]
＝sin (＋)，故原等式得证．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" )
1．已学习：诱导公式⑤⑥⑦⑧及应用，利用诱导公式进行化简、求值与证明．
2．须贯通：诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”，当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原三角函数值的符号．
3．应注意：(1)诱导公式中“符号”的确定；
(2)三角函数名称改变．