7．3.1　第1课时　正弦函数的性质（教师版）

7．3　三角函数的性质与图象
7．3.1　正弦函数的性质与图象
第1课时　正弦函数的性质
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．　2.依据正弦线理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、单调区间及最值，会判断它的奇偶性．
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根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”，因此，单位圆的性质与三角函数的性质有着天然的联系，可以借助单位圆研究三角函数的性质，这节课就从单位圆入手开启正弦函数性质的学习吧！
思考　角α的终边与单位圆的交点是否唯一？该交点的纵坐标是什么？
提示：唯一，纵坐标为y＝sin α.
1．正弦函数的定义
对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x 与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数．
2．正弦函数的定义域与值域
因为任意角都有正弦，所以y＝sin x的定义域为________．
如图，由正弦线可以看出，的长度最大是1，最小是0.因此可知y＝sin x的值域为________，而且当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x的最大值ymax＝________；
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，函数y＝sin x 的最小值ymin＝________．
[答案自填] R　[－1，1]　1　－1
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)函数y＝的定义域为__________________________________．
(2)求使函数y＝－2sin x＋1取得最大值和最小值的自变量x的集合，并写出其值域．
【解】　(1)为使函数有意义，需满足即0INCLUDEPICTURE "../../../../BSB6a.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../BSB6a.TIF" \* MERGEFORMAT
由图可得函数的定义域为
.
故答案为：
≤x<π＋2kπ，k∈Z}．
(2)当x∈时，ymax＝－2×(－1)＋1＝3；
当x∈时，ymin＝－2×1＋1＝－1，
所以函数y＝－2sin x＋1的值域为[－1，3].
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求正弦函数的值域一般有以下两种方法
(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题．
(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.　
[跟踪训练1] (1)(多选)已知函数f(x)＝2a sin x＋a＋b的定义域是，值域为[－5，－1]，则a，b的值为(　　)
A．a＝2，b＝－7 B．a＝－2，b＝2
C．a＝－2，b＝1 D．a＝1，b＝－2
解析：选AC.因为f(x)＝2a sin x＋a＋b的定义域是，所以0≤sin x≤1.
当a<0时，由题意解得
当a>0时，由题意解得
(2)求函数y＝cos2x－sinx在上的最值．
解：y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx
＝－＋.
因为－≤x≤，
所以－≤sin x≤，
所以当x＝－，即sin x＝－时，
函数y＝cos2x－sinx取得最大值，ymax＝；
当x＝，即sin x＝时，
函数y＝cos2x－sinx取得最小值，ymin＝－.
1．正弦函数的奇偶性
由诱导公式sin (－x)＝－sin x可知，正弦函数y＝sin x是________函数，其图象关于原点中心对称．
2．周期函数
(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足____________________，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个________，那么这个最小的正数就称为f(x) 的最小正周期．
3．正弦函数的周期性
由诱导公式sin (x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)，可知，当自变量x的值每增加或减少2π的____________时，正弦值重复出现，这种性质称为正弦函数的周期性．
[答案自填] 奇　f(x＋T)＝f(x)　最小的正数　整数倍
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期．
(1)f(x)＝sin x(x∈R)；
(2)f(x)＝|sin x|.
【解】　(1)因为x∈R，所以定义域关于原点对称，
因为f(－x)＝sin ＝－sin x＝－f(x)，
所以f(x)＝sin x是奇函数．
因为sin ＝sin ＝sin ，
所以f(x)＝sin 的最小正周期是4π.
(2)易知x∈R，f(－x)＝|sin (－x)|＝|sin x|＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．由f(x)＝|sin x|＝|sin (x＋kπ)|＝f(x＋kπ)，k∈Z，可知f(x)的最小正周期为π.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)求与正弦函数有关的周期的常用方法：①定义法；②公式法；③图象法．
(2)当函数y＝sin x，x∈[a，b]为奇函数时，其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y＝sin x，x∈[0，2π]是非奇非偶函数．　
[跟踪训练2] (1)f(x)＝x sin x是(　　)
A．奇函数　　　　　 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．奇函数，又是偶函数
解析：选B.因为x∈R，所以定义域关于原点对称，又f(－x)＝－x sin (－x)＝x sin x＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(2)判断等式sin ＝sin 是否成立．如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？
解：sin ＝sin ＝sin ＝－sin ，而sin ＝－sin ，所以上述等式成立，但不能说明是函数y＝sin x的周期．
理由如下，若是函数y＝sin x的周期，则对任意的实数x，都有sin ＝sin x，
但当x＝0时，sin ≠sin x，所以不是函数y＝sin x的周期．
一般地，正弦函数y＝sin x在区间________________________________(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减．
[答案自填]
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)函数y＝2－sin x的单调递减区间为____________．
(2)(对接教材例2)不求值，比较大小．
①sin 与sin ；
②sin 194°和cos 160°.
【解】　(1)当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝2－sin x单调递减，故y＝2－sin x的单调递减区间为(k∈Z)．
故答案为(k∈Z).
(2)①sin ＝sin ＝sin ，
sin ＝sin ＝sin .
因为函数y＝sin x在上单调递增，
且－<－<<，
所以sin ＜sin ，
即sin ＜sin π.
②sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°，
cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
因为y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，且0°<14°<70°<90°，所以sin 14°所以－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
用单调性比较三角函数值大小的策略
比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性进行比较，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．　
[跟踪训练3] (1)下列关系式中正确的是(　　)
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．cos 10°解析：选C.因为sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°，因为函数y＝sin x在0°≤x≤90°上单调递增，所以sin 11°(2)若x∈[0，π]，则函数y＝1－3sin x的单调递减区间为____________．
解析：当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝1－3sin x单调递减．
若x∈[0，π]，因为(k∈Z)∩[0，π]＝，所以当x∈[0，π]时，y＝1－3sin x的单调递减区间为.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．对于函数f(x)＝sin x＋1，下列选项中不正确的是(　　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的最大值为2
解析：选B.因为函数y＝sin x在上单调递增，所以f(x)＝sin x＋1在上单调递增，故A正确；因为f(－x)＝sin (－x)＋1＝－sin x＋1≠－f(x)，故B不正确；f(x) 的最小正周期为2π，故C正确；f(x)的最大值为1＋1＝2，故D正确．
2．(教材P43练习AT1改编)已知2a－1－3sin x＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1，2) B．[0，1]
C．(0，1) D．[－1，2]
解析：选D.由题意得2a－1＝3sin x，因为sin x∈[－1，1]，所以－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2.
3．(教材P43练习AT3改编)函数y＝9－sin x的单调递增区间是(　　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：选B.易知函数y＝9－sin x的单调递增区间与y＝sin x的单调递减区间相同，即(k∈Z).
4．sin 与sin 的大小关系为____________．(用“>”连接)
解析：sin ＝sin
＝sin ＝sin ＝sin ，
sin ＝sin ＝sin ，
因为0<<<，且y＝sin x在上递增，
所以sin >sin ，
即sin >sin .
答案：sin >sin
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：正弦函数的周期性与奇偶性、正弦函数的单调区间、比较三角函数值的大小、正弦函数的定义域与最值(值域).
2．须贯通：正弦函数的单调性及其应用、求函数的最值(值域).
3．应注意：(1)单调区间漏写k∈Z；
(2)求值域时忽视sin x本身具有的范围．