7．3.2　课后达标 检测2（教师版）

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1．若点(a，0)是函数y＝sin (x＋)图象的一个对称中心，则a的值可以是(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选C.依题意可得a＋＝kπ，k∈Z，所以a＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，a＝－.故选C.
2.已知函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
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A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
解析：选D.依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.又sin ＝sin ＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，由|φ|＜，得φ＝－.故选D.
3．将函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象向左平移个单位后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.结合题意可得f(x＋)＝sin [ω(x＋)＋]＝sin (ωx＋ω＋)(ω>0)，
因为曲线C关于y轴对称，
所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得ω＝2k＋(k∈Z)，因为ω>0，所以当k＝0时，ω有最小值.故选B.
4．设函数f(x)＝sin ωx，若函数g(x)＝f(x)－1在[0，π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是(　　)
A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
解析：选B.由题意可知g(x)＝f(x)－1＝0，即sin ωx＝1在[0，π]上恰有3个解，因为x∈[0，π]，ωx∈[0，ωπ]，所以由正弦函数的图象与性质可知，ωπ∈[，)，即ω∈[，).故选B.
5．将函数f(x)＝sin (ωx－)(ω>0)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，若g(x)在(－，)上单调递增，则ω的最大值为(　　)
A． B．
C． D．1
解析：选C.由题意g(x)＝sin (ωx＋ω－)(ω>0)，令t(x)＝ωx＋ω－，显然t关于x单调递增，且t(－)＝－≥－，t()＝πω－，若g(x)在(－，)上单调递增，则t()＝πω－≤，又ω>0，解得0<ω≤，即ω的最大值为.故选C.
6．(多选)已知函数f(x)＝sin (3x＋)，则(　　)
A．点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心
B．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在[0，]上单调递增
D．f(x＋)＝f(x)
解析：选AB.函数f(x)＝sin (3x＋)，
f(－)＝sin [3×(－)＋]＝sin 0＝0，点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心，A选项正确；
f()＝sin [3×()＋]＝sin ＝1，是函数最大值，所以直线x＝是f(x)图象的一条对称轴，B选项正确；
当x∈[0，]时，3x＋∈[，]，[，]不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
f(x＋)＝sin [3(x＋)＋]＝sin (3x＋π＋)
＝－sin (3x＋)＝－f(x)，D选项错误．故选AB.
7．将函数f(x)＝sin (2x－)的图象向左平移个单位，所得图象的一个对称中心为____________________________________．
解析：由题意知，所得函数解析式为
g(x)＝sin [2(x＋)－]＝sin (2x－)，
令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，
所以所得图象的对称中心为(＋，0)(k∈Z).
令k＝0，所得图象的一个对称中心为(，0)(答案不唯一).
答案：(，0)(答案不唯一)
8．已知函数f(x)＝2sin ，对任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为____________．
解析：由不等式f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R恒成立，可判断出f(x1)，f(x2)分别为f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为函数f(x)＝2sin 的半个最小正周期．因为f(x)＝2sin 的最小正周期为π，所以|x1－x2|的最小值为.
答案：
9.函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 030)＝________．
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解析：由题图可知A＝2，φ＝2kπ，k∈Z，T＝8，
所以＝8，即ω＝，所以f(x)＝2sin x.
因为周期为8，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 030)＝253×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2sin ＋2sin ＋2sin ＋2sin π＋2sin ＋2sin ＝.
答案：
10．已知x＝是函数f(x)＝2sin (2x＋φ)－1的对称轴，其中φ∈(－，).
(1)求φ的值；
(2)当x∈时，求 f(x)的单调递增区间和值域．
解：(1)因为x＝是函数f(x)＝2sin (2x＋φ)－1的对称轴，
所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋(k∈Z).
又因为φ∈(－，)，所以φ＝(k＝0).
(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)－1，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，
当k＝0时，函数f(x)的单调递增区间是，
又因为x∈，所以f(x)的单调递增区间为.当x∈时，函数f(x)的最大值为f()，由对称性可知最小值为f(－), f(－)＝2sin －1＝－2，f()＝2sin (2×＋)－1＝1，所以当x∈时，f(x)的值域为[－2，1].
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11．(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f的图象的两条相邻对称轴，则f＝(　　)
A．－　 　B．－　 　C．　 　D．
解析：选D.由题意得×＝－，解得ω＝2，易知x＝是f(x)的最小值点，所以×2＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f(x)＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，f(－)＝sin (－×2＋)＝sin ＝，故选D.
12.(多选)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)在一个周期内的大致图象如图所示，则(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM19.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM19.TIF" \* MERGEFORMAT
A．f(x)＝2sin (2x＋)
B．f(x)＝2sin (4x－)
C．f(x)的图象关于点(，0)中心对称
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
解析：选ACD.根据题中的图象可得A＝2，周期T＝2×(＋)＝π，则＝π，得ω＝2.将点(，－2)代入f(x)＝2sin (2x＋φ)，得2sin (＋φ)＝－2，＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝＋2kπ，k∈Z，因为0<φ<π，所以φ＝，即f(x)＝2sin (2x＋)，故选项A正确，选项B错误；
因为f()＝2sin (2×＋)＝0，所以f(x)的图象关于点(，0)中心对称，故选项C正确；
因为f()＝2sin (2×＋)＝2，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，故选项D正确．故选ACD.
13．设函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ≤π)是R上的奇函数，若f(x)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在区间上单调，则f＝____________．
解析：函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ≤π)是R上的奇函数，则f(0)＝0，即sin φ＝0，因为0<φ≤π，则φ＝π，所以f(x)＝－sin ωx，其定义域为R且关于原点对称，f(－x)＝－sin ω(－x)＝sin ωx＝－f(x)，此时f(x)为奇函数．
又f(x)的图象关于直线x＝对称可得＝＋kπ，k∈Z，即ω＝2＋4k，k∈Z.又因为ω>0，由函数的单调区间知≤·，即ω≤5.5.所以k＝0，ω＝2，则f(x)＝－sin 2x，则f＝－sin ＝－.
答案：－
14.已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<.
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(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－，]时，求函数f(x)的取值范围．
解：(1)由题中的图象可知，A＝＝2，B＝＝2，
设f(x)最小正周期为T，＝×＝－＝，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ)＋2，又因为f()＝2sin (2×＋φ)＋2＝4，且|φ|<，所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (2x＋)＋2.
(2)当x∈[－，]时，2x＋∈[－，]，sin (2x＋)∈[－，1]，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)＋2的取值范围是[1，4].
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15.已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，A，B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且|OB|＝3|OA|，则(　　)
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A．f(6)＝
B．f(1)＋f(9)＝0
C．f(x)在(3，5)上单调递减
D．函数f(x)的图象关于点(－，0)中心对称
解析：选D.由△ABC为等腰直角三角形，C为图象上的最高点，且点C的纵坐标为1，所以|AB|＝2，则函数f(x)的周期为4，由＝4，ω>0，可得ω＝，又|OB|＝3|OA|，所以A(－，0)，B(，0)，则C(，1)，将点C代入f(x)＝sin (x＋φ)，得1＝sin (＋φ)，则＋φ＝＋2kπ，k∈Z.而0<φ<π，则φ＝，所以f(x)＝sin (x＋)，则f(6)＝sin (×6＋)＝－，A错误；
f(1)＋f(9)＝sin (＋)＋sin (×9＋)＝sin ＋sin ＝，B错误；
若x∈(3，5)，则x＋∈(，)，显然函数不是单调的，C错误；
f(－)＝sin [×(－)＋]＝sin (－π)＝0，所以函数f(x)的图象关于点(－，0)中心对称，D正确．故选D.
16．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<，x∈R)的部分图象．
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(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间；
(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
解：(1)由题中的图象知，A＝2，＝－＝，
所以T＝π，ω＝＝2，因为图象过点，
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin .
(2)令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)由题意得g(x)＝2sin
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在上的图象如图所示，
由函数的图象可知，当m∈[，2)时，方程g(x)＝m在上有两个不相等的实数根，故实数m的取值范围是[，2).