7．3.2　正弦型函数的性质与图象(二)（教师版）

7．3.2　正弦型函数的性质与图象(二)
1.会求正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)的周期、单调性、最值．　2.能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象求其解析式．　3.能利用y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象解决有关综合问题．
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思考1　若要确定三角函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式，则需确定三角函数的哪些参数？
提示：A，ω，φ的值．其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期．
思考2　如图，你能说说这个图象有什么特点吗？
INCLUDEPICTURE "../../../../BQB3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../BQB3.TIF" \* MERGEFORMAT
提示：题图是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质．由此，我们可以推出整个函数的性质．
一　函数y＝A sin (ωx＋φ)的有关性质
名称 性质
定义域 ________
值域 ________
周期性 T＝________
对称中心 (k∈Z)
对称轴 x＝＋(k∈Z)
奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝＋kπ(k∈Z)时是偶函数
单调性 由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z，解得单调递减区间
[答案自填] R　[－|A|，|A|]　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知函数f(x)＝sin ＋.求：
(1)f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合．
【解】　(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
则x＝＋(k∈Z)，
所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－＋(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z).
(3)当sin ＝－1，
即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
即x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，最小值为，此时x的取值集合是.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
有关函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想的应用．　
[跟踪训练1] (多选)已知函数y＝sin (2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝sin (2x－φ)的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
解析：选AD.因为函数y＝sin (2x＋φ)在x＝处取得最大值，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，则φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以y＝sin (2x－φ)＝sin .
令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数图象关于点(k∈Z)对称，所以A正确，B不正确．
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即函数图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，所以D正确，C不正确．
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象的一部分如图所示，求函数f(x)的解析式．
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM9.TIF" \* MERGEFORMAT
【解】　由题图可得A＝2，＝2，
即T＝8＝，所以ω＝，
可得f(x)＝2sin (x＋φ)，
又因为f(－1)＝2，即×(－1)＋φ＝＋2kπ，k∈Z，可得φ＝＋2kπ，k∈Z，
又由0<φ<π，所以φ＝，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (x＋).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
根据三角函数图象求解析式，重在对A，ω，φ的理解，主要从以下三个方面考虑：
(1)根据最大值或最小值求出A的值．
(2)根据最小正周期求出ω的值．
(3)求φ的常用方法如下：①代入法，把图象上的一个已知点的坐标代入(此时要注意该点的位置)或把图象的最高点或最低点的坐标代入．②五点法，确定φ的值时，往往以寻找五点法中的特殊点作为突破口．　
[跟踪训练2] 函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则f()＝______．
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM10.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由已知可得，＝－＝，所以T＝π，所以ω＝＝2，所以f(x)＝sin (2x＋φ).
又因为f(x)在x＝处取得最大值，所以有2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin (2x－)，所以f()＝sin (2×－)＝sin ＝sin ＝.
答案：
三　y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象的综合应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)(多选)已知函数f(x)＝2sin (2x－)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于点(，0)对称
B．函数f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)在区间[－，]上单调递增
D．将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把图象向右平移个单位得到的函数为 g(x)＝－2cos x
(2)已知函数f(x)＝sin (ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
①求函数f(x)的解析式；
②若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位得到函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调递增区间．
【解】　(1)选ACD.由于f(x)＝2sin (2x－)，所以f()＝2sin (2×－)＝2sin 3π＝0，故f(x)的图象关于点(，0)对称，A正确；
函数f(x)的最小正周期为＝π，故B错误；
当x∈[－，]时，2x－∈[－，] [－，]，故C正确；
将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin (x－)，再把图象向右平移个单位得到的函数为g(x)＝2sin (x－－)＝－2cos x，D正确．故选ACD.
(2)①由函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，得函数f(x)的最小正周期T＝2×＝，解得ω＝1，故函数f(x) 的解析式为f(x)＝sin .
②将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位得到函数g(x)＝sin ＝sin 的图象，根据g(x)的图象恰好经过点，可得sin ＝0，即sin ＝0，所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.此时g(x)＝sin .因为x∈，所以2x＋∈.当2x＋∈，即x∈时，g(x) 单调递增，当2x＋∈，即x∈时，g(x) 单调递增．综上，g(x)在区间上的单调递增区间是和.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
关于函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的解题策略
(1)验证法：直线x＝θ为对称轴，则f(θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f(θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间，此法适合选择题．
(2)换元法：通过诱导公式及函数图象间的变换关系，得到所求函数的解析式，一般要化成一角一函数的形式，如y＝A sin (ωx＋φ).采取“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令z＝ωx＋φ，即通过y＝A sin z的性质，来研究函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．　
[跟踪训练3] 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../../../RABX9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RABX9.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设解：(1)由题中函数f(x)的图象知A＝2.
又因为函数图象过(0，1)点，
所以f(0)＝1，所以sin φ＝.
因为|φ|<，所以φ＝.
由图象可知＝－＝，所以T＝π.
又因为T＝＝π，所以ω＝2.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin .
(2)由(1)知f(x)＝2sin ，若所以实数m的取值范围为(－2，0)∪(，2).
当－2INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P50T2改编)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM15.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM15.TIF" \* MERGEFORMAT
A.f(x)＝sin (x＋) B．f(x)＝sin (2x＋)
C．f(x)＝sin (2x＋) D．f(x)＝sin (4x＋)
解析：选C.根据题图知A＝1，T＝－＝，所以T＝＝π，所以ω＝2，将点(，1)代入f(x)＝sin (2x＋φ)，得sin (2×＋φ)＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，则φ＝，所以f(x)＝sin (2x＋).故选C.
2．(教材P51练习BT4改编)函数y＝2sin (x＋)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是(　　)
A．[－2π，－] B．[－，]
C．[，] D．[，2π]
解析：选B. 令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ(k∈Z)，因为x∈[－2π，2π]，当k＝0时，－≤x≤，即函数的单调递增区间是[－，].故选B.
3．已知函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且关于点(，0)对称，则ω的值可能是(　　)
A．5 B．9
C．13 D．15
解析：选B.函数f(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且关于点(，0)对称，则有＋＝＋kπ(k∈Z)且＋＝mπ(m∈Z)，解得ω＝1＋4k(k∈Z)且ω＝12m－3(m∈Z)，选项中只有ω＝9符合条件．故选B.
4．如图为函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一个周期内的图象．
INCLUDEPICTURE "../../../../22SXA92.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../22SXA92.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．
解：(1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
所以ω＝＝＝，所以f(x)＝2sin .
将点(－1，0)代入，得0＝2sin ，
所以－＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝＋kπ，k∈Z.
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin .
(2)因为－1≤x≤2，所以0≤x＋≤，
所以0≤sin ≤1.
所以0≤2sin ≤2.
所以函数f(x)在x∈[－1，2]上的值域为[0，2].
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：由图象求三角函数的解析式；函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质及应用．
2．须贯通：涉及三角函数的图象与性质的综合问题，一般先要利用诱导公式及函数图象间的变换关系把三角函数式转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式，然后将ωx＋φ看作一个整体，借助正弦函数的性质解决问题．
3．应注意：(1)用代入法求参数φ时，一般代入最值点；
(2)求函数最值时，应从函数定义域入手，实际问题中还应考虑自变量的实际意义．