7．3.2　正弦型函数的性质与图象(一)（教师版）

7．3.2　正弦型函数的性质与图象(一)
1.理解y＝A sin (ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响，掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)图象间的变换关系．　2.会用五点法作y＝A sin (ωx＋φ)的图象．　3.了解y＝A sin (ωx＋φ)图象的物理意义，能指出振幅、周期、频率、初相．
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明朝科学家徐光启在《农政全书》 中用图画描绘出了筒车的工作原理．如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，筒车从点P0运动到点P.设点P距水面的高度为H.
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思考1　H由哪些量决定？
提示：H由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，筒车的初始位置P0以及所经过的时间t.
思考2　如何将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数？
提示：H＝r sin (ωt＋φ)＋h.
思考3　观察函数y＝sin (x＋)与函数y＝sin x 的图象的形状和位置，你有什么发现？
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提示：两图象形状完全相同，只是位置不同，把正弦曲线y＝sin x上所有点向左平移个单位，得到函数y＝sin (x＋)的图象．
1．正弦型函数的定义
一般地，形如y＝A sin (ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数．
2．φ对函数y＝sin (x＋φ)图象的影响
INCLUDEPICTURE "../../../../A43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../A43.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　要得到函数y＝sin (2x＋)的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
【解析】　因为y＝sin (2x＋)＝sin ，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，就可得到函数y＝sin (2x＋)的图象．
【答案】　C
【变式探究】
(综合变式)要得到函数y＝sin 2x的图象，只要将函数y＝sin 的图象(　　)
A.向左平移个单位　
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析：选D.因为y＝sin ＝sin ，只需将函数的图象向右平移个单位，就得到y＝sin ＝sin 2x的图象．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x前的系数．当x前的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位．　
[跟踪训练1] (1)将函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位，得到的图象对应的解析式是______________________．
解析：函数y＝sin (x－)的图象向右平移个单位，得y＝sin (x－－)＝sin (x－).　
答案：y＝sin (x－)
(2)把函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝sin (x＋)的图象，则f(x)＝________．
解析：由题意可知，函数y＝sin (x＋)向左平移个单位即为f(x)，即 f(x)＝sin (x＋＋)＝sin (x＋).
答案：sin (x＋)
1．ω对函数y＝sin (ωx＋φ)图象的影响
INCLUDEPICTURE "../../../../A44.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../A44.TIF" \* MERGEFORMAT
2．A对函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的影响
INCLUDEPICTURE "../../../../A45.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../A45.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　为了得到函数y＝sin (x－)的图象，只需将函数y＝sin (x－)的图象上各点(　　)
A．横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变
【解析】　先将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象，再将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象，即将函数y＝sin (x－)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象．故选D.
【答案】　D
INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
图象伸缩变换的关注点
(1)两个弄清：要弄清是横向还是纵向，要弄清是伸长还是缩短；
(2)三角函数图象伸缩变换的两种方法：
[跟踪训练2] (1)把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数解析式是(　　)
A．y＝sin ，x∈R
B．y＝sin ，x∈R
C．y＝sin ，x∈R
D．y＝sin ，x∈R
解析：选C.把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数y＝sin 的图象，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，故选C.
(2)将函数y＝sin (x－)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________________的图象．
解析：把y＝sin (x－)的图象上各点的横坐标伸长为原来的5倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin (x－) 的图象．
答案：y＝sin (x－)
三　用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)的图象
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)用五点法画函数y＝2sin (3x＋)在一个周期内的简图．
【解】　令u＝3x＋，则y＝2sin 可以化成y＝2sin u，列表如下：
x －
u＝3x＋ 0 π 2π
y＝2sin u＝2sin 0 2 0 －2 0
描点连线，画图如下．
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM3.TIF" \* MERGEFORMAT
【变式探究】
(条件变式)本例中把“一个周期内”改为“[0，]”，又如何作图？
解：因为x∈[0，]，所以3x＋∈[，]，
令u＝3x＋，则y＝2sin 可以化成y＝2sin u，
列表如下：
x 0
u＝3x＋ π 2π
y＝2sin u＝2sin 1 2 0 －2 0 1
描点连线，画图如下．
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM4.TIF" \* MERGEFORMAT
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)五点法作图的实质：利用五点法画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
(2)用五点法作函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)图象的步骤．
第一步：列表．
x － － － － －
ωx＋φ 0 π 2π
f(x) 0 A 0 －A 0
第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点．
第三步：用光滑曲线顺次连接这些点，形成图象．
(3)在画指定区间上的函数图象时，先由x的第一个取值确定ωx＋φ整体取的第一个值，然后再确定ωx＋φ整体后面的取值．　
[跟踪训练3] 已知函数y＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
解：(1)列表：
x －
＋ 0 π 2π
y＝3sin ＋3 3 6 3 0 3
(2)描点连线，画图如下：
INCLUDEPICTURE "../../../../WQ2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../WQ2.TIF" \* MERGEFORMAT
四　y＝A sin (ωt＋φ)中，常数A，φ，ω的实际意义
1．振幅|A|：小球能偏离________________的最大距离．
2．初相φ：在决定________时小球的位置(即A sin φ)中起关键作用．
3．周期T＝：小球完成________________所需要的时间．
4．频率f＝：单位时间内能够完成的________．
[答案自填] 平衡位置　t＝0　一次运动
运动次数
【即时练】
1．函数y＝sin 的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．3π，， B．6π，，
C．3π，3，－ D．6π，3，－
解析：选B.由题可知周期T＝＝6π，振幅为，初相为.
2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　)
INCLUDEPICTURE "../../../../RABX8.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../RABX8.TIF" \* MERGEFORMAT
A．， B．2，
C．，π D．2，π
解析：选A.当t＝0时，θ＝sin ＝.又T＝＝π，所以单摆频率为.故选A.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．用五点法画函数y＝sin 在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
解析：选C.令4x－＝，得x＝，所以该点坐标为.
2．(多选)下列图象变换正确的是(　　)
A．将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin (x－)的图象
B．将y＝sin (x＋)的图象向右平移个单位得到y＝sin x的图象
C．将y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin (2x＋)的图象
D．将y＝sin x的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y＝sin 2x的图象
解析：选AB.选项A，将y＝sin x的图象向右平移个单位得到y＝sin (x－)的图象，故正确；
选项B，将y＝sin (x＋)的图象向右平移个单位得到y＝sin (x＋－)＝sin x的图象，故正确；
选项C，将y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin＝sin (2x＋)的图象，故不正确；
选项D，将y＝sin x的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到y＝sin x的图象，故不正确．故选AB.
3．(教材P51T2改编)把函数y＝sin (2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f(x)的图象，再将 f(x)图象上所有点向右平移个单位，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝________．
解析：y＝sin (2x＋)纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到f(x)＝sin (x＋)，将f(x)图象上所有点向右平移个单位，可得g(x)＝f(x－)＝sin (x－＋)＝sin x.
答案：sin x
4．将函数y＝2sin (x＋)的图象向右平移m(m＞0)个单位后的图象过原点，则m的最小值是________．
解析：由题意可知，平移后函数解析式为y＝2sin (x＋－m)，因为函数y＝2sin (x＋－m)的图象过原点，所以0＝2sin (0＋－m)，即0＝sin (－m)，解得－m＝kπ，k∈Z，即m＝－kπ，k∈Z，又m＞0，故k＝0时，m取最小值.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：三角函数图象的平移变换、伸缩变换；五点法作图．
2．须贯通：由函数y＝sin x的图象得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象，既可以先平移后伸缩，也可以先伸缩后平移，其效果是一样的，但两种变换中平移的单位均是对于自变量“x”而言的，因而平移的单位是不同的．
3．应注意：(1)变换前后函数名是否相同及变换顺序；(2)五点法作图中五点的选取．