7．3.3　课后达标 检测（教师版）

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1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin 2x
C．y＝cos x D．y＝cos 2x
解析：选D.函数y＝sin x与y＝cos x的最小正周期均为2π，排除A，C，因为y＝sin 2x是奇函数，排除B.综上，函数y＝cos 2x是偶函数，且最小正周期为π.故选D.
2．若函数f(x)＝2cos x，x∈，则f(x)的最小值是(　　)
A．－ B．－1
C．－2 D．－
解析：选C.因为x∈，所以cos x∈[－1，1]，所以2cos x∈，所以函数f(x)的最小值为－2.
3．函数f(x)＝cos (2x＋φ)(－π<φ<π)的图象关于原点对称，则φ的取值可能是(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选D.因为函数f(x)＝cos (2x＋φ)的图象关于原点对称，所以φ＝kπ＋，k∈Z. 又－π<φ<π，得φ的取值可能是－，，结合选项，故选D.
4．函数f(x)＝cos 在(0，2π)上的零点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.令函数f(x)＝cos ＝0，
得2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，
结合x∈(0，2π)，可得x＝，，，，
故函数在(0，2π)上的零点个数为4，故选D.
5．已知函数f(x)＝A cos (ωx＋θ)(x∈R，ω>0，0≤θ≤)的图象如图所示，则f＝(　　)
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A．0 B．－1
C．－ D．－2
解析：选B.由题图得A＝±2，周期T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝A cos (2x＋θ)，又f(0)＝A cos θ＝，0≤θ≤，所以A＝2，θ＝，所以f(x)＝2cos ，从而可求得f＝2cos ＝－1.
6．(多选)已知函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的图象关于点对称，且其相邻对称轴之间的距离为，将函数f(x)的图象向左平移个单位后，得到函数g(x)的图象，则下列说法中不正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期T＝
B．φ＝－
C．g(x)＝cos
D．g(x)在上的单调递减区间为
解析：选ABC.因为相邻对称轴之间的距离是半个周期，所以函数f(x)的最小正周期T＝，故A不正确．由T＝＝，得ω＝.因为f(x)的图象关于点对称，所以×＋φ＝＋kπ，k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z.又因为－π<φ<0，所以φ＝－，故B不正确．
将函数f(x)＝cos 的图象向左平移个单位后得g(x)＝cos ＝cos 的图象，故C不正确．
当x∈时，x－∈，则当x－∈，即x∈时，函数g(x)单调递减，故D正确．故选ABC.
7．函数y＝的定义域是_______________________________________________．
解析：由2cos x＋1≥0，得cos x≥－，结合图象(图略)知，x∈，k∈Z.
答案：，k∈Z
8．比较大小：
(1)cos ________cos ；
(2)cos ________cos .
解析：(1)因为－<－<－<0，
且y＝cos x在上是单调递增的，
所以cos (2)cos ＝cos ＝cos ，
cos ＝cos ＝cos ，
因为π<<<2π，
且y＝cos x在上单调递增，
所以cos 即cos 答案：(1)<　(2)<
9．写出同时满足①f(x)＝f(－x)；②f(x＋)＝－f(x)的函数f(x)的一个解析式____________________________________________．
解析：因为f(x)＝f(－x)，故函数f(x)是R上的偶函数，又因为f(x＋)＝－f(x)，故f(x＋π)＝－f(x＋)＝f(x)，
因此函数f(x)是周期为π的函数，故满足以上条件的一个函数为f(x)＝cos 2x.
答案：f(x)＝cos 2x(答案不唯一)
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域并判断函数的奇偶性；
(2)求函数f(x)的最小正周期．
解：(1)由cos x＋1≠0，得x≠2kπ＋π，k∈Z，
所以函数f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，
f(x)＝＝
＝
＝
＝2－cos x.
因为f(－x)＝2－cos (－x)＝2－cos x＝f(x)，
且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，
故函数f(x)为偶函数．
(2)因为f(x)＝2－cos x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，
所以 f(x)的最小正周期为2π.
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11．(2023·天津卷)已知函数f图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f 的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝sin B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos
解析：选B.对于A，f(x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝sin π＝0，所以函数f(x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f(x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f(2)＝cos π＝－1，所以函数f(x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin 和y＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D.故选B.
12．(多选)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，则(　　)
A．ω＝2
B．x＝是y＝f(x)图象的一条对称轴
C．f(x)在区间[－，0]上单调递增
D．f(x)在区间[－，0]上的最小值为
解析：选AB.对于A，因为函数f(x)＝2cos (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为π，
所以＝π，可得ω＝2，故A正确；
对于B，f()＝2cos (2×＋)＝2cos π＝－2，故B正确；
对于C，当x∈[－，0]时，2x＋∈[－，]，y＝cos x在区间[－，]上先增后减，故C错误；
对于D，当x∈[－，0]时，2x＋∈[－，]，
所以cos (2x＋)∈[，1]，
可得f(x)∈[1，2]，故D错误．故选AB.
13．将函数f(x)＝cos (3x－)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数g(x) 的图象，若g(－x)－g(x)＝0，则a的最小值为________．
解析：将f(x)＝cos (3x－)图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝cos (4x－)的图象，再将所得图象向右平移a(a>0)个单位，得到函数g(x)＝cos (4x－4a－)的图象，由g(－x)－g(x)＝0，得函数g(x)为偶函数，则4a＋＝kπ(k∈Z)，解得a＝－(k∈Z)，又a>0，所以a的最小值为.
答案：
14．已知函数f(x)＝a－b cos (2x＋)(b>0)的最大值为，最小值为－.
(1)求a，b的值；
(2)求函数g(x)＝－4a sin (bx－)的最小值，并求出g(x)取最小值时x的取值集合．
解：(1)由题意，易知－1≤cos (2x＋)≤1，
因为b>0，所以
所以
(2)由(1)知a＝，b＝1，
所以g(x)＝－2sin (x－)，
因为－1≤sin (x－)≤1，
所以－2≤g(x)≤2，所以g(x)的最小值为－2，
此时sin (x－)＝1，则x－＝2kπ＋，k∈Z，所以x＝2kπ＋，k∈Z，
故g(x)取最小值时x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
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15．(2023·全国甲卷)函数y＝f的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f的图象与直线y＝x－的交点个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.图象法：把函数y＝cos 向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝
cos ＝cos ＝－sin 2x，而y＝x－显然过点与点(1，0)，作出函数f(x)和直线y＝x－的部分大致图象如图所示，考虑2x＝－，2x＝，2x＝，即x＝－，x＝，x＝处f(x)与y＝x－的大小关系，当x＝－时，f＝－sin ＝－1，y＝×－＝－＜－1；当x＝时，f＝－sin ＝1，y＝×－＝＜1；当x＝时，f＝－sin ＝1，y＝×－＝＞1；所以由图可知，f(x)与y＝x－的交点个数为3.故选C.
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16．已知函数f(x)＝cos (2x－).
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)设g(x)＝sin2x＋2cos x－，若对任意的x1∈[，b]，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数b的取值范围．
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
令2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).
(2)g(x)＝sin2x＋2cos x－
＝1－cos2x＋2cos x－
＝－(cos x－1)2＋，
由于－1≤cos x≤1，
所以g(x)＝－(cos x－1)2＋∈[－，]，
故原题等价于对任意的x1∈[，b]，
存在t＝g(x)∈[－，]，
使得f(x1)＝t，
由题意，首先b＞，当x1∈[，b]时，
2x1－∈[，2b－]，
而cos ＝＝cos ，
又函数y＝cos x在[，π]上单调递减，
在[π，]上单调递增，
所以2b－≤，解得b≤ ，
综上所述，实数b的取值范围为(，].