7．3.3　余弦函数的性质与图象（教师版）

7．3.3　余弦函数的性质与图象
1.会用五点法和图象平移伸缩变换作出余弦函数的简图．　2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴和对称中心，并会简单应用．
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过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径．这节课我们要研究的余弦函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是y＝cos x的什么性质？有了前面我们研究正弦函数的经验，我们来探究一下余弦函数的性质与图象．
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思考　刚学习了正弦函数的性质及图象，怎么根据正弦函数快速地确定余弦函数的性质与图象？
提示：由y＝cos x＝sin ，只需研究
y＝sin 的性质与图象即可．
1．余弦函数的定义
对于任意一个角x，都有________确定的余弦cos x与之对应，因此y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数．
2．图象的画法
(1)平移法
由y＝cos x＝sin 知，余弦函数y＝cos x 的图象可以通过将正弦曲线y＝sin x 的图象向____________平移__________个单位得到．
(2)五点法
函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点分别是：(0，1)，，______________，____________，(2π，1).
[答案自填] 唯一　左　　(π，－1)　
角度1　五点法作余弦曲线
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　用五点法作函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图．
【解】　因为x∈，
所以令x＝0，，π，，2π.
列表：
x 0 π 2π
y＝cos x 1 0 －1 0 1
y＝2cos x＋1 3 1 －1 1 3
描点，连线，如图．
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eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
五点法作余弦函数y＝cos x图象的策略
(1)五点法作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点等五个　
关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状．连线要保持光滑，注意凹凸性．
(2)五个关键点的确定：使函数中x取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，再作出图象．
角度2　余弦函数的图象变换
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)要得到函数y＝cos (2x＋)的图象，只需将函数y＝cos x图象上所有的点(　　)
A．向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
B．向左平移个单位，再将横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位
D．横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再向右平移个单位
【解析】　函数y＝cos x的图象向左平移个单位，得y＝cos (x＋)的图象，再将横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos (2x＋)的图象；将函数y＝cos x的图象横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得y＝cos 2x的图象，再向左平移个单位，得y＝cos ，即y＝cos (2x＋)的图象．故选BC.
【答案】　BC
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
余弦函数图象变换的技巧
当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换．在变换时要注意两点：一是平移变换的规则，即“左加右减”“上加下减”；二是对于先伸缩后平移的变换，要注意由y1＝cos ωx(ω≠0)的图象得到y2＝cos(ωx＋φ)的图象时，因为y2＝cos ，所以应该将y1＝cos ωx的图象向左或向右平移个单位，而不是平移|φ|个单位．　
[跟踪训练1] 把函数f(x)＝3cos (x＋)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象所对应的函数g(x)的解析式是(　　)
A．g(x)＝3cos (x＋)
B．g(x)＝3cos [(x＋)]
C．g(x)＝3cos (2x＋)
D．g(x)＝3cos [2(x＋)]
解析：选A.若把f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则g(x)＝f()＝3cos (x＋).
函数 y＝cos x
定义域 ________
值域 ________
最值 当x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，ymin＝－1
周期性 是周期函数，最小正周期为________
奇偶性 是________函数，图象关于________对称
单调性 当x∈____________________________时，函数单调递增；当x∈____________________________时，函数单调递减
零点 ＋kπ(k∈Z)
图象的对称性 对称中心为点，k∈Z；对称轴为直线x＝kπ，k∈Z
[答案自填] R　[－1，1]　2π　偶　y轴
[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)
角度1　余弦函数的单调性及其应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)函数f(x)＝5cos 的一个单调递减区间是(　　)
A． B．
C． D．
(2)三个数cos ，cos ，cos 的大小关系是(　　)
A．cos B．cos C．cos D．cos 【解析】　(1)由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)，得－≤x≤＋(k∈Z)，
所以是f(x)的一个单调递减区间．故选B.
(2)因为cos ＝cos >0，
cos ＝－cos <0，
cos >0，又余弦函数y＝cos x
在上单调递减，
所以cos 因此－cos 即cos 【答案】　(1)B　(2)B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)用整体代换法求函数y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数；然后整体代换，将“ωx＋φ”看成一个整体“z”，利用余弦函数的单调性，求原函数的单调性．
(2)求单调区间时，需将最终结果写成区间形式，并注明k∈Z.
(3)关于三角函数值比较大小
利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用单调性比较大小．　
[跟踪训练2] 已知函数f(x)＝cos (2x－)，则f(x) 在[－2，0]上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：选D.令2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，则f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)，单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，又因为x∈[－2，0]，所以f(x)在[－2，－]上单调递减，在[－，0]上单调递增，即f(x)在[－2，0]上先减后增．故选D.
角度2　余弦函数的最值、值域问题
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例4)求函数y＝3cos2x－4cosx＋1，x∈的值域．
【解】　y＝3cos2x－4cosx＋1＝3－.
因为x∈，所以cos x∈.
从而当cos x＝－，
即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
所以所求函数的值域为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
三角函数最值问题的求解方法
(1)y＝a cos x型，可利用余弦函数的有界性，注意对a进行正负的讨论．
(2)y＝A cos (ωx＋φ)＋b型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得cos (ωx＋φ)的范围，最后求得最值．
(3)y＝a cos2x＋b cosx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝cos x，转化为二次函数等求最值．t的范围需要根据定义域来确定．　
[跟踪训练3] (1)函数y＝cos (x＋)，x∈[0，]的值域是(　　)
A．(－，) B．[－，]
C．[，1] D．[，1]
解析：选B.由0≤x≤，得≤x＋≤，
所以－≤cos (x＋)≤，故选B.
(2)若函数f(x)＝cos (1≤x≤t)的值域为[－1，1]，则正整数t的最小值是________．
解析：因为1≤x≤t，则≤≤，
若函数f(x)＝cos (1≤x≤t)的值域为[－1，1]，则2π≤，解得t≥6，所以正整数t的最小值是6.
答案：6
角度3　余弦函数的周期性、奇偶性与对称性
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)函数f(x)＝3cos 图象的一个对称中心是(　　)
A． B． C． D．
(2)定义在R上的偶函数f(x)，其最小正周期是π，且当 x∈[0，]时，f(x)＝cos x，则f() 的值为________．
【解析】　(1)由题意得4x＋＝kπ＋(k∈Z)，所以x＝－(k∈Z)，所以f(x)＝3cos 图象的对称中心是(k∈Z).当k＝1时，函数的对称中心为.故选B.
(2)因为f(x)的最小正周期是π，
所以f()＝f(2π－)＝f(－)，
又因为f(x)是偶函数，
所以f()＝f(－)＝f()＝cos ＝.
【答案】　(1)B　(2)
【变式探究】
1．(条件变式)若将本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，结果如何？
解：f ()＝f(2π－)＝f(－)＝－f()＝－cos ＝－.
2．(条件变式)若将本例(2)条件改为“定义在R上的偶函数f(x)，f (x＋)＝－f(x)，且f()＝1”，试求f()的值．
解：因为f(x＋)＝－f(x)，所以f(x＋π)＝－f(x＋)＝f(x)，所以函数y＝f(x)的周期T＝π.又f(x)是偶函数，
因此f()＝f(2π－)＝f(－)＝f()＝1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
(1)对于函数y＝cos (ωx＋φ)，令ωx＋φ＝kπ，k∈Z可解出对称轴，令ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z可解出对称中心．
(2)对于函数y＝cos (ωx＋φ)，若已知x＝α是对称轴，或(α，0)是对称中心，则代入α，ωα＋φ＝kπ或ωα＋φ＝＋kπ，k∈Z可求ω或φ.
(3)特别地，对于函数y＝cos (ωx＋φ)，当φ＝kπ，k∈Z时，函数为偶函数；当φ＝＋kπ，k∈Z时，函数为奇函数．　
[跟踪训练4] (1)已知函数f(x)＝2sin (ω>0)的图象与函数g(x)＝cos (2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，则φ的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选D.由题意得，f(x)与g(x)图象的对称中心完全相同，则两函数的周期相同，即＝，则ω＝2，即f(x)＝2sin ，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z，即f(x)图象的对称中心为，k∈Z，所以g(x)图象的对称中心也为，k∈Z，则g＝cos ＝cos ＝±cos ＝0，则φ＝kπ＋，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝－.
(2)若函数f(x)＝cos (2x＋φ－)(φ>0)是奇函数，则φ的最小值为________．
解析：因为函数f(x)＝cos (2x＋φ－)(φ>0)是奇函数，所以φ－＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ的最小值为.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(多选)若f(x)＝2cos [2(x＋)]，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)为奇函数
B．f(x)为偶函数
C．f(x)的最小正周期为π
D．f(x)的最小正周期为2π
解析：选AC.因为f(x)＝2cos (2x＋)＝－2sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，又因为f(－x)＝－2sin (－2x)＝2sin 2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；可得f(x)是最小正周期为π的奇函数．故选AC.
2．(教材P55T2(4)改编)已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则f(x)的图象(　　)
A．与g(x)的图象相同
B．与g(x)的图象关于y轴对称
C．向左平移个单位，得g(x)的图象
D．向右平移个单位，得g(x)的图象
解析：选D.因为f(x)＝sin ＝cos x，g(x)＝cos ，所以f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)的图象．
3．(教材P55练习AT4改编)函数y＝3－4cos 的最大值为____________，此时自变量的取值集合为___________________________________．
解析：当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)max＝3＋4＝7.
答案：7　
4．设函数f(x)＝cos (ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)的最小正周期为π，且f()＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)填下表并在给定平面直角坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．
x
ωx＋φ
f(x)
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM5.TIF" \* MERGEFORMAT
解：(1)由题意知，T＝＝π，
解得ω＝2，又f()＝cos (2×＋φ)＝，－<φ<0，
解得φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝cos (2x－)，列表如下：
x 0 π
2x－ － 0 π
f(x) 1 0 －1 0
描点连线，画图如下．
INCLUDEPICTURE "../../../../25PM6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../25PM6.TIF" \* MERGEFORMAT
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../../../课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．已学习：(1)余弦函数．(2)余弦函数的性质与图象．(3)余弦函数的单调性、奇偶性、对称性．(4)余弦函数的值域(最值).　
2．须贯通：研究函数y＝A cos (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助余弦函数的性质与图象解决有关问题．
3．应注意：余弦函数的单调性、对称性易混淆．