7．3.4　课后达标 检测（教师版）

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1．函数f(x)＝tan (－4x＋)的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
解析：选A.函数f(x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝＝＝.故选A.
2．函数f(x)＝tan x在[－，]上的最小值为(　　)
A．1 B．2
C． D．－
解析：选D.由正切函数y＝tan x的单调性可知，f(x)＝tan x在[－，]上单调递增，所以最小值为f(x)min＝tan (－)＝－.故选D.
3．若函数y＝tan (x－φ)(φ≥0)的图象与直线x＝π没有交点，则φ的最小值为(　　)
A．0 B．
C． D．π
解析：选C.函数y＝tan x的图象与直线x＝＋kπ(k∈Z)没有交点．
若函数y＝tan (x－φ)(φ≥0)的图象与直线x＝π没有交点，则π－φ＝＋kπ，k∈Z，φ＝－kπ，k∈Z，又φ≥0，则φ的最小值为.故选C.
4．若a＝tan 7，b＝sin ，c＝tan ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
解析：选B.由于<7－2π＜，
故a＝tan 7＝tan (7－2π)∈(，1)，
而＞＝sin ＝b，故a＞b，
又c＝tan ＝tan (32π＋)＝tan ＝，
即c＞a＞b.故选B.
5．已知函数y＝tan ωx在(－，)上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　)
A．[0，1) B．[－1，0)
C．(－1，1) D．[－1，1]
解析：选B.因为函数y＝tan ωx在(－，)上单调递减，所以ω＜0，ω＜ωx＜－ω，所以(ω，－ω) (－，)，即解得－1≤ω＜0.故选B.
6．(多选)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期是2π
B．f(x)的值域是(0，＋∞)
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋]，k∈Z
解析：选AD.对于A，因为f(x)的最小正周期和y＝tan (x－)的最小正周期相同，即T＝＝2π，故A正确；
对于B，因为y＝tan (x－)的值域为R，所以f(x)≥0，即函数f(x)的值域为[0，＋∞)，故B错误；
对于C，结合绝对值的意义，由x－＝，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，则直线x＝不是函数f(x)图象的对称轴，故C错误；
对于D，由kπ－＜x－≤kπ，k∈Z，得2kπ－＜x≤2kπ＋，k∈Z，则函数f(x)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋]，k∈Z，故D正确．故选AD.
7．不等式|tan x|≤的解集是____________．
解析：|tan x|≤，则－≤tan x≤，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案：[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z
8．函数y＝2tan x＋a在区间[，]上的最大值为4，则实数a为________．
解析：函数y＝2tan x＋a在区间[，]上单调递增，则当x＝时，ymax＝2tan ＋a＝a＋2，
因此a＋2＝4，解得a＝4－2.
答案：4－2
9．已知函数f(x)＝2tan (ωx＋)＋1(ω＞0)的最小正周期为2π，则f(x)图象的一个对称中心的坐标为________．
解析：根据T＝＝2π，得ω＝，
则f(x)＝2tan (＋)＋1，
令＋＝(k∈Z)，
得＝－(k∈Z)，
所以x＝kπ－(k∈Z).
答案：(－，1)(答案不唯一，横坐标只需符合x＝kπ－π，k∈Z且纵坐标为1即可)
10．已知函数f(x)＝3tan (x－).求：
(1)函数f(x)的定义域及最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间．
解：(1)由x－≠kπ＋，k∈Z得x≠2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的定义域是{x|x≠2kπ＋，k∈Z}，又T＝＝＝2π，
所以函数f(x)的最小正周期是2π.
(2)由kπ－＜x－＜kπ＋，k∈Z，
得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，
所以函数的单调递增区间是(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z，无单调递减区间．
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11．已知偶函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，若a＝tan 114°，b＝tan 172°，c＝tan 287°，则下列不等关系中正确的是(　　)
A．f(c)＞f(b)＞f(a) B．f(c)＞f(a)＞f(b)
C．f(b)＞f(c)＞f(a) D．f(b)＞f(a)＞f(c)
解析：选D.因为a＝tan 114°＝tan (180°－66°)＝－tan 66°，b＝tan 172°＝tan (180°－8°)＝－tan 8°，c＝tan 287°＝tan (360°－73°)＝－tan 73°，又由f(x)为偶函数，则f(a)＝f(tan 66°)，f(b)＝f(tan 8°)，f(c)＝f(tan 73°)，又函数y＝tan x在0°＜x＜90°上单调递增，所以tan 8°＜tan 66°＜tan 73°，又f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则有f(b)＞f(a)＞f(c).故选D.
12．(多选)已知函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的图象如图所示，图中阴影部分的面积为6π，则(　　)
A．ω＝ B．φ＝－
C．φ＝ D．f()＝
解析：选ABD.如图，①和②面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，可得AB＝3，设函数f(x)的最小正周期为T，则AD＝T，由题意得3T＝6π，解得T＝2π，故＝2π，得ω＝，所以A正确；
由A得f(x)＝tan (x＋φ)，f(x)的图象过点(，－1)，即tan (×＋φ)＝tan (＋φ)＝－1，因为φ∈(－，)，则＋φ∈(－，)，所以＋φ＝－，解得φ＝－，所以B正确，C错误；以上可得f(x)＝tan (x－)，所以f()＝tan (－)＝tan ＝，所以D正确．故选ABD.
13．已知函数f(x)＝ln (＋3x)＋5tan x－4，若f(a)＝2 024，则f(－a)＝________．
解析：令g(x)＝ln (＋3x)＋5tan x，x≠＋kπ，k∈Z，由g(－x)＋g(x)＝ln (－3x)－5tan x＋ln (＋3x)＋5tan x＝ln [(－3x)·(＋3x)]＝ln 1＝0，可得函数g(x)为奇函数，则由f(a)＝g(a)－4＝2 024得 g(a)＝2 028，故f(－a)＝g(－a)－4＝－g(a)－4＝－2 032.
答案：－2 032
14．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M(－，0)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求不等式－1≤f(x)≤的解集．
解：(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，
即＝，因为ω>0，所以ω＝2，
从而f(x)＝tan (2x＋φ).
因为函数y＝f(x)的图象关于点M(－，0)对称，
所以2×(－)＋φ＝，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z.
因为0<φ<，
所以φ＝，
故f(x)＝tan (2x＋).
(2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，
得－＋所以函数f(x)的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z，无单调递减区间．
(3)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋)，
由－1≤tan (2x＋)≤，
得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z，
即－＋≤x≤＋，k∈Z，
所以不等式－1≤f(x)≤的解集为
{x|－＋≤x≤＋，k∈Z}．