7．3.4　正切函数的性质与图象（教师版）

7．3.4　正切函数的性质与图象
1.理解、掌握正切函数的性质．　2.了解正切函数图象的画法，并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
同学们，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？
思考1　正切函数y＝tan x的定义域是什么？
提示：{x|x≠＋kπ，k∈Z}．
思考2　回忆诱导公式②与诱导公式④中的正切公式，你能说明正切函数有什么性质？
提示：tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数，tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数．
1．正切函数
对于任意一个角x，只要x≠__________，就有________确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．
2．正切函数的定义域与值域
(1)定义域：因为角＋kπ(k∈Z)的终边与横轴垂直，其正切值不存在，因此可知y＝tan x的定义域为________________________．
(2)值域：正切函数的值域是实数集R.
(3)正切函数y＝tan x的零点为________，k∈Z.
[答案自填] ＋kπ，k∈Z　唯一
　kπ
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" 　(1)(对接教材例1)函数y＝3tan 的定义域为________________________________________________；
(2)函数y＝tan2x－2tanx的值域为____________．
【解析】　(1)由－≠＋kπ，k∈Z，
得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为.
(2)令u＝tan x，因为|x|≤，
所以由正切函数的图象知u∈[－，　]，
所以原函数可化为y＝u2－2u，u∈[－，　]，
因为二次函数y＝u2－2u＝(u－1)2－1的图象开口向上，对称轴方程为u＝1，所以当u＝1时，ymin＝－1，当u＝－时，ymax＝3＋2，
所以原函数的值域为[－1，3＋2　].
【答案】　(1)
(2)[－1，3＋2　]
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
(1)求正切函数定义域的方法
①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
②求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.　
(2)求正切函数值域的方法
①对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．
②对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域．
[跟踪训练1] (1)函数y＝3tan (π＋x)，－解析：函数y＝3tan (π＋x)＝3tan x，因为正切函数在(－，]上单调递增，所以－3答案：(－3，　]
(2)函数y＝lg (－tan x)的定义域是____________．
解析：要使y＝lg (－tan x)有意义，
需使
所以函数的定义域是
.
答案：
1．奇偶性：由诱导公式tan (－x)＝－tan x，x≠＋kπ，k∈Z，可知正切函数y＝tan x是一个____________．
2．周期性：由诱导公式tan (x＋π)＝tan x，且x≠＋kπ，k∈Z，可知y＝tan x是周期为________的周期函数．
[答案自填] 奇函数　π
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" 　(1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为(　　)
A． B．
C．π D．2π
(2)函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝________．
【解析】　(1)函数y＝－3tan (2x－)的最小正周期为.故选B.
(2)由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1，
所以am3－bm－tan m＝－1，
所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3.
【答案】　(1)B　(2)3
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略
(1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝，常常利用此公式来求最小正周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．　
[跟踪训练2] (1)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　)
A．周期为的偶函数
B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数
D．周期为的奇函数
解析：选A.由2x≠kπ＋，k∈Z，
解得x≠＋，k∈Z，
f(x)的定义域是，f(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，由此排除B，D选项．
f(x＋)＝|tan (2x＋π)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)的一个周期为，A选项正确．
f(x＋)＝
＝
＝
＝≠f(x)，
所以不是f(x)的周期，C选项错误．故选A.
(2)函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支被直线y＝所截得的线段长为，则f() 的值是________．
解析：由题意知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为，所以ω＝＝8.
所以f()＝tan ＝tan ＝.
答案：
正切函数的单调性：
正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都是____________________的．
[答案自填] 单调递增
角度1　求正切型函数的单调区间
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" 　函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为____________________．
【解析】　y＝tan (－3x＋)＝－tan (3x－).
由－＋kπ＜3x－＜＋kπ(k∈Z)，
得－＋＜x＜＋(k∈Z)，
故函数y＝tan (－3x＋)的单调递减区间为
(－＋，＋)(k∈Z).
【答案】　(－＋，＋)(k∈Z)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的求法是当ω> 0时，把ωx＋φ看成一个整体，解不等式－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间．　
角度2　比较大小
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　比较下列各组中三角函数值的大小：
(1)tan 138°与tan 143°；
(2)tan (－)与tan (－).
【解】　(1)因为当90°＜x＜180°时，函数y＝tan x单调递增，且90°＜138°＜143°＜180° ，
所以tan 138°＜tan 143° .
(2)因为tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan ，
tan (－)＝tan (－＋3π)＝tan ，
且0＜＜＜，
结合函数y＝tan x在(0，)上单调递增，
所以tan ＜tan ，
即tan (－)＜tan (－).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
(2)运用正切函数单调性比较大小关系．　
[跟踪训练3] (1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞c＞b B．a＜b＜c
C．a＞b＞c D．a＜c＜b
解析：选A.由题意得，函数y＝tan x在(0，)上单调递增且tan x＞0，在(，π)上单调递增且tan x＜0，因为＜1＜＜2＜3＜π，所以tan 2＜tan 3＜0，tan 1＞0，所以a＞c＞b.故选A.
(2)若函数y＝tan 3x在区间(m，)上单调递增，则实数m的取值范围为________．
解析：令kπ－＜3x＜kπ＋，k∈Z，解得－＜x＜＋，k∈Z，令k＝0，则其一个单调递增区间为(－，)，则实数m的取值范围为[－，).
答案：[－，)
一般地，y＝tan x的函数图象称为正切曲线．
正切函数的对称中心为(k∈Z).
提醒　正切函数只有对称中心，没有对称轴．
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" 　设函数f(x)＝tan .
(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
【解】　(1)因为ω＝，
所以最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，
得x＝＋kπ(k∈Z)，
所以f(x)图象的对称中心是(k∈Z).
(2)令－＝0，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
所以函数y＝tan 的图象与x轴的一个交点坐标是，
INCLUDEPICTURE "../../../../BQB11.TIF" \* MERGEFORMAT
在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期(－，)内的简图(如图).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" )
熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成的，y＝tan x图象的对称中心为，k∈Z.　
[跟踪训练4] 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．
解：由y＝|tan x|，
得y＝
其图象如图，
INCLUDEPICTURE "../../../../BQB12.TIF" \* MERGEFORMAT
由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为
，
值域为[0，＋∞)，是偶函数．
函数y＝|tan x|的最小正周期T＝π，
函数y＝|tan x|的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../../课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．函数y＝的定义域为(　　)
A．[kπ－，kπ]，k∈Z
B．[kπ，kπ＋]，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋]，k∈Z
D．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z
解析：选C.由题意可得1－tan x≥0，且x≠＋kπ，k∈Z，即tan x≤1，所以x∈(kπ－，kπ＋]，k∈Z.故选C.
2．(多选)已知函数f(x)＝tan (x＋)，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的定义域为
C．f(x)是奇函数
D．f() ＜f()
解析：选BD.对A，由f(x)＝tan (x＋)，得函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，故A错误；
对B，由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的定义域为，故B正确；
对C，由B知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故C错误；
对D，由B知当k＝1时，f(x)在(，)上单调递增，
所以f()＜f()，故D正确．故选BD.
3．(教材P59T5改编)函数f(x)＝tan (x＋)的单调递增区间为________________．
解析：对于函数f(x)＝tan (x＋)，
由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
可得2k－＜x＜2k＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间为(2k－，2k＋)(k∈Z).
答案：(2k－，2k＋)(k∈Z)
4．已知函数f(x)＝a－tan 2x在闭区间[－，b]上的最大值为7，最小值为3，求实数a，b的值．
解：取－＜2x＜，
解得－＜x＜，
所以y＝tan 2x在(－，)上单调递增，
即f(x)＝a－tan 2x在(－，)上单调递减，
因为f(x)在闭区间[－，b]上有最大值为7，最小值为3，
所以－＜b＜，且f(b)＝3，f(－)＝7，
即
解得
因为－＜b＜，所以b＝，
故a＝4，b＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" )
1．已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质．
2．须贯通：研究函数y＝A tan (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题．
3．应注意：(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，而不是T＝；(2)函数y＝tan x在定义域内不单调，其图象的对称中心(，0)(k∈Z).