8．2.4　课后达标 检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\基础达标.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．sin 的值是(　　)
A． B.
C． D．
解析：选B.sin ＝＝＝ ＝＝.故选B.
2．已知sin α＝，cos α＝，则tan ＝(　　)
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±(－2)
解析：选C.方法一：因为sin α＝，cos α＝，
所以tan ＝＝－2.
方法二：因为sin α＝>0，cos α＝>0，
所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一或第三象限，所以tan >0，
故tan ＝＝＝－2.
3．设3π<α<4π，cos ＝m，那么cos ＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：选B.由cos ＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以 cos <0.又cos ＝m，所以cos ＝－.故选B.
4．函数y＝cos cos 的最大值为(　　)
A． B．－
C．1 D．
解析：选D.y＝
＝
＝－cos 2x，
因为－1≤cos 2x≤1，
所以ymax＝.
5．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝，则有(　　)
A．cC．a解析：选C.a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin (30°－6°)＝sin 24°，b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c＝sin 25°，因为y＝sin x在0°≤x≤90°时单调递增，所以a6．(多选)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，则以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝
B．cos (α－β)＝
C．cos αcos β＝
D．tan αtan β＝
解析：选AC.因为cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，故α＋β∈(0，π)，2α∈(0，π)，所以sin 2α＝＝，故A正确；
因为sin(α＋β)＝＝，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝×(－)＋×＝，故B错误；cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝(－＋)＝，故C正确；sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)]＝＝，所以tan αtan β＝＝，故D错误．故选AC.
7．已知α∈(，π)，sin α＝，则sin ＝________．
解析：因为α∈(，π)，sin α＝，
所以∈(，)，cos α＝－，
所以sin ＝＝＝.
答案：
8．若θ是第二象限角且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos θ＝________，cos ＝________．
解析：由25sin2θ＋sinθ－24＝0，
θ是第二象限角，
得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去).
故cos θ＝－＝－.
由cos2＝，得cos2＝.
又是第一、三象限角，
所以cos＝±.
答案：－　±
9．在△ABC中，若cos B＝，则cos2＋tan2＝________．
解析：cos2＋tan2＝＋
＝＋
＝＋
＝＋
＝＋＝＋＝.
答案：
10．(1)化简：；
(2)求值：sin 50°(1＋tan 10°).
解：(1)＝
＝＝
＝sin αcos α＝sin 2α.
(2)sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°(1＋)
＝sin 50°
＝sin 50°
＝
＝＝
＝＝1.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\能力提升.TIF" \* MERGEFORMATINET
11．已知α是锐角，cos α＝，则cos (＋)＝(　　)
A．－ B．＋
C．－ D．－
解析：选D.因为α是锐角，所以0<<，因为sin2＝＝＝，cos2＝＝＝，所以sin ＝，cos ＝，
所以cos (＋)＝cos cos －sin sin ＝×－×＝－.故选D.
12．(多选)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)·sin2x(x∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最小正周期为
C．f(x)是奇函数
D．f(x)是偶函数
解析：选BD.因为f(x)＝(1＋cos2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos4x).又f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是最小正周期为的偶函数，故选BD.
13．化简求值：＋＝__________________________________________.
解析：＋＝＋
＝
＝
＝＝
＝2cos 30°＝.
答案：
14．已知函数f(x)＝－＋，x∈(0，π).
(1)将函数f(x)表示成cos x的多项式；
(2)求函数f(x)的最小值．
解：(1)f(x)＝＝
＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x
＝2cos2x＋cosx－1.
(2)因为f(x)＝2－，且－1＜cos x＜1，所以当cos x＝－时，
函数f(x)取得最小值－.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\素养拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET
15．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选D.因为α，β∈(0，π)，
所以sin α＋sin β＞0，
所以cos β－cos α＞0，所以cos β＞cos α.
又在(0，π)上，
y＝cos x是减函数，
所以β＜α，0＜α－β＜π.由已知条件可知，
2sin cos ＝，
所以tan ＝，
所以＝，所以α－β＝.
16．如图，有一块半径为R的扇形草地OMN，∠MON＝，现要在其中划出一块矩形场地ABCD作为儿童乐园使用，其中点A，B在弧MN上，设∠AOB＝2θ(0<θ<)，且线段AB平行于线段MN.
(1)用θ分别表示AB和AD；
(2)当θ为何值时，矩形场地ABCD的面积S最大？最大值为多少？
解：(1)如图，过点O做OH⊥AB，垂足为H且交CD于点P.
INCLUDEPICTURE "../../../rm7.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\rm7.TIF" \* MERGEFORMATINET
则∠AOH＝θ，所以AH＝R sin θ AB＝2R sin θ，又∠MON＝，所以∠MOH＝，OP＝DP＝AH，
则AD＝PH＝OH－AH＝R(cos θ－sin θ).
(2)S＝AB·AD＝2R2sin θ(cos θ－sin θ)
＝R2(2sin θcos θ－2sin2θ)
＝R2(sin2θ＋cos 2θ－1)
＝R2[sin (2θ＋)－1]≤(－1)R2，
当且仅当2θ＋＝，
即θ＝时取等号．
故当θ＝时，矩形场地ABCD的面积S最大，最大值为(－1)R2.