8．2.4　三角恒等变换的应用（教师版）

8．2.4　三角恒等变换的应用
1.了解半角公式及其推导过程．　2.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．　3.灵活运用和、差、倍角公式、积化和差与和差化积公式进行相关计算及化简、证明．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式，它们都属于三角变换．对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，从而选择合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换．
回顾上节讲过的二倍角的余弦公式，思考下面问题：
思考1　如何用cos 2α表示sin2α，cos2α，tan2α？
提示：sin2α＝(1－cos2α)，cos2α＝(1＋cos2α)，tan2α＝.
思考2　如何用cos α表示sin2，cos2，tan2？
提示：借助思考1中的公式，以角“”代替“α”，
可得sin2＝(1－cosα)，
cos2＝(1＋cosα)，
tan2＝.
1．S：sin ＝____________________，
2．C：cos ＝____________________，
3．T：tan ＝____________________＝＝.
点拨　半角公式中的“±”号不能去掉，若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留“±”两个符号；若给出α的具体范围，则先求的所在范围，然后再根据所在范围选用符号．
[答案自填] ± 　±
±
【即时练】
1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．
(1)半角公式对任意角都适用．(　　)
(2)cos ＝.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin ＝sin α都不成立．(　　)
(4)sin 8α＝2sin 6αcos 2α.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．cos ＝(　　)
A． B．
C．2－ D．
解析：选A.因为0<<，所以cos ＝＝＝.故选A.
3．已知cos α＝，α∈(－，0)，则sin ＝_________________________________.
解析：依题意， sin ＝－＝－ ＝－.
答案：－
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的二倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．　
1．积化和差公式
cos αcos β＝____________________，
sin αsin β＝____________________，
sin αcos β＝____________________，
cos αsin β＝____________________．
2．和差化积公式
cos x＋cos y＝____________________，
cos x－cos y＝____________________，
sin x＋sin y＝____________________，
sin x－sin y＝____________________．
[答案自填] [cos (α＋β)＋cos (α－β)]
－[cos (α＋β)－cos (α－β)]　[sin (α＋β)＋sin (α－β)]　[sin (α＋β)－sin (α－β)]
2cos cos 　－2sin sin
2sin cos 　2cos sin
角度1　利用积化和差、和差化积公式求值
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°；
(2)已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin (α＋β)的值．
【解】　(1)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°
＝cos 10°cos 50°cos 70°
＝
＝cos 70°＋cos 40°cos 70°
＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°)
＝cos 70°＋cos 110°＋
＝(cos 70°＋cos 110°)＋
＝×(2cos 90°cos 20°)＋＝.
(2)因为cos α－cos β＝，
所以－2sin sin ＝.①
又因为sin α－sin β＝－，
所以2cos sin ＝－.②
因为sin ≠0，所以由①②，
得－tan ＝－，即tan ＝.
所以sin (α＋β)＝
＝＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
应用积化和差、和差化积公式时的注意事项
(1)关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数．
(2)根据实际问题选用公式时，应从以下两个方面考虑：
①运用公式之后，能否出现特殊角；
②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项．　
角度2　积化和差、和差化积公式的综合应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例3)已知函数f(x)＝sin －sin .
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最小值及最小值点．
【解】　(1)由和差化积公式可知
f(x)＝2cos ·
sin ＝2cos sin
＝2cos ·(－)
＝－cos .
所以函数f(x)的最小正周期T＝π.
(2)令2x＋＝2kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，
所以当x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)min＝－.
所以f(x)的最小值点为－＋kπ，k∈Z，最小值为－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
应用公式解决三角函数综合问题的思路
　
[跟踪训练1] (1)求下列各式的值：
①sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝____________；
②sin 54°－sin 18°＝____________．
解析：①原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°)
＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－
＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70°
＝－sin 70°＋sin 70°＝.
②原式＝2cos 36°sin 18°
＝2×
＝
＝＝＝.
答案：①　②
(2)已知函数f(x)＝sin cos .
①求函数f(x)的值域；
②若x∈[0，2π]，求函数f(x)的零点．
解：①由积化和差公式可知f(x)
＝[sin ＋sin ]
＝
＝sin －，
因为sin ∈[－1，1]，
所以函数f(x)的值域为[－1，0].
②令f(x)＝0，得sin ＝1，
所以2x－＝＋2kπ，k∈Z，所以x＝＋kπ，k∈Z.
因为x∈[0，2π]，所以x＝或x＝，
所以函数f(x)的零点为，.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例4)已知A＋B＋C＝π，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sin sin cos .
【证明】　因为左边＝sin (B＋C)＋2sin ·cos ＝2sin cos ＋2sin cos
＝2cos
＝2cos ·2sin cos
＝4sin sin cos ＝右边，
所以原等式成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，若分式不好证明，可变形为整式来证明．　
[跟踪训练2] 求证：tan －tan ＝.
证明：方法一：tan －tan
＝－
＝
＝＝
＝
＝.所以原等式成立．
方法二：因为
＝
＝
＝－
＝tan －tan .所以原等式成立．
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.方法一：由题意，cos α＝＝1－2sin2，得sin2＝＝＝()2，又α为锐角，所以sin＞0，所以sin ＝.
方法二：由题意，cos α＝＝1－2sin2，
得sin2＝，将选项逐个代入验证可知D选项满足．故选D.
2．(多选)已知2sinα＝1＋cos α，则tan 的可能取值为(　　)
A． B．1
C．2 D．不存在
解析：选AD.由题意知4sin cos ＝1＋2cos2－1，故有2sincos －cos2＝cos(2sin －cos )＝0，若2sin －cos ＝0，则tan ＝；若cos ＝0，则tan 不存在．故选AD.
3．(教材P109练习BT2改编)已知函数f(x)＝cos sin ，则f(x)的最小正周期为__________，最大值为__________．
解析：f(x)＝
＝
＝sin －.
所以T＝＝，f(x)max＝－.
答案：　－
4．(1)化简：；
(2)求证：＝tan2.
解：(1)原式＝＝＝.
(2)证明：左边＝＝
＝
＝
＝()2
＝()2
＝tan2
＝右边．所以原等式成立．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：半角公式、积化和差与和差化积公式；三角函数式的化简、证明．
2．须贯通：三角恒等变换的三个原则：变角、变名及变结构，灵活借助辅助角公式把三角函数式化为一个角的三角函数．
3．应注意：半角公式符号的判断，实际问题中隐含的条件．