培优2 与数量积有关的最值与范围问题　（教师版）

INCLUDEPICTURE "培优2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../培优2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　与数量积有关的最值与范围问题
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平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的最值、范围，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数解析式，转化为求函数的最值．
类型一 向量数量积的最值与范围问题
INCLUDEPICTURE "典例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../典例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，c为任意向量，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B．－
C．－3 D．－
【解析】　设向量a，b的夹角为θ.由|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2，得cos θ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.在平面直角坐标系中，取a＝(2，0)，b＝(－1，1)，满足|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－2.设c＝(x，y)，则a－c＝(2－x，－y)，b－c＝(－1－x，1－y)，所以(a－c)·(b－c)＝(2－x)·(－1－x)＋(－y)(1－y)＝x2－x－2＋y2－y＝＋－，所以当x＝y＝时，(a－c)·(b－c)取得最小值，为－.
【答案】　B
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
对向量数量积的最值(范围)问题求解策略
先进行数量积的有关运算，将数量积用某一个变量或两个变量表示，建立关系式，然后利用函数、不等式、方程等有关知识求解；在一些和几何图形有关的问题中，也可利用图形、几何知识进行求解．　
类型二 向量模的最值问题
INCLUDEPICTURE "典例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../典例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(c－a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C． D．
(2)设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________．
【解析】　(1)由题意得|a|＝|b|＝1，a·b＝0，由a2＝b2＝1，得|a＋b|＝＝，设a＋b与c的夹角为θ，(c－a)·(c－b)＝c2＋a·b－c·(a＋b)＝|c|2－|c||a＋b|cos θ＝0，即|c|＝cos θ，当cos θ＝1，即a＋b与c同向时，|c|取最大值，最大值是.故选C.
(2)因为|a|＝8，|b|＝12，所以|a＋b|≤|a|＋|b|＝20，当且仅当a与b同向时取等号，|a＋b|≥|b|－|a|＝4，当且仅当a与b反向时取等号，所以|a＋b|的最大值与最小值分别为20，4.
【答案】　(1)C　(2)20，4
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
求向量模的最值(范围)一般要利用公式|a|＝转化为函数或均值不等式求解，或利用不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|求解．　
类型三 向量夹角的最值问题
INCLUDEPICTURE "典例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../典例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，
即a·b＝b2，cos 〈a，b〉＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，
所以0所以a，b夹角的最小值为.故选C.
【答案】　C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../../解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
若两向量的夹角为α，先求出cos α的范围，再根据余弦函数y＝cos α以及α∈[0，π]的单调性求出夹角α的范围．　
【尝试训练】
1．已知点A(4，3)和B(1，2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为(　　)
A．5 B．5
C．3 D．
解析：选D.由题意可得＝(4，3)，＝(1，2)，则|＋t|＝|(4，3)＋t(1，2)|＝＝＝，结合二次函数的性质可得，
当t＝－2时，|＋t|min＝.故选D.
2．已知a，e均是单位向量，若不等式|a＋e|≤2|a＋te| 对任意实数t都成立，则a与e的夹角的最小值是____________．
解析：不等式|a＋e|≤2|a＋te|对任意实数t都成立，即(a＋e)2≤4(a＋te)2对任意实数t都成立，即a2＋2a·e＋e2≤4a2＋4e2t2＋8a·et对任意实数t都成立．因为a，e均是单位向量，所以上式可整理为2t2＋4a·et＋1－a·e≥0对任意实数t都成立，所以16(a·e)2－8(1－a·e)≤0，即2(a·e)2＋a·e－1≤0，所以(2a·e－1)(a·e＋1)≤0，得－1≤a·e≤，所以－1≤cos 〈a，e〉≤，因为0≤〈a，e〉≤π，所以≤〈a，e〉≤π，则a与e的夹角的最小值为.
答案：
3．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是________．
解析：方法一：分别取BC的中点D，AD的中点O(图略)，则·(＋)＝2·＝2(－)(＋)
＝2
＝2＝2.
又||min＝0，故所求最小值为－.
方法二：如图，取BC的中点D，连接AD，以直线BC为x轴，直线AD为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).设P(x，y)，
则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，·(＋)＝2x2－2y(－y)＝2x2＋2(y－)2－≥－，当x＝0，y＝时取等号，所以·(＋)的最小值为－.
答案：－