强化课　课后达标 检测（教师版）

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一、选择题
1．函数f(x)＝sin2x－是(　　)
A．周期为π的偶函数
B．周期为π的奇函数
C．周期为2π的偶函数
D．周期为2π的奇函数
解析：选A.f(x)＝－＝－cos 2x，故f(x) 的最小正周期为π，为偶函数．故选A.
2．函数y＝sin x－cos x的值域是(　　)
A．[0，1] B．[－1＋，1＋]
C．[－2，2] D．[－1－，1＋]
解析：选C.y＝sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2sin (x－)，因为－1≤sin (x－)≤1, 即－2≤2sin (x－)≤2，所以 y＝sin x－cos x 的值域是 [－2，2].故选C.
3．已知－sin x＋cos x＝A sin (x－β)，其中A>0，β∈(0，2π)，则β＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.因为－sin x＋cos x＝2(－sin x＋cos x)＝2sin (x＋)＝A sin (x－β)，所以－β＝＋2kπ，k∈Z，因为β∈(0，2π)，所以β＝.故选C.
4．设函数f(x)＝sin x－cos x，则下列函数中为偶函数的是(　　)
A．f(x＋) B．f(x－)
C．f(x＋) D．f(x－)
解析：选B.因为f(x)＝sin x－cos x＝2sin (x－)，所以f(x＋)＝2sin (x＋－)＝2sin (x＋)为非奇非偶函数，故A错误；f(x－)＝2sin (x－－)＝2sin (x－)＝－2cos x为偶函数，故B正确；f(x＋)＝2sin (x＋－)＝2sin x为奇函数，故C错误；f(x－)＝2sin (x－－)＝2sin (x－)为非奇非偶函数，故D错误．故选B.
5．已知函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x，x∈[0，]，则f(x)的最大值为(　　)
A． B．＋
C．1＋ D．1＋
解析：选C.f(x)＝()＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin (2x－)＋，因为x∈[0，]，2x－∈[－，]，所以－≤sin (2x－)≤1，则f(x)的最大值为1＋.故选C.
6．已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋1在x∈[0，2π]上有两个零点α，β(α<β)，则sin (α－β)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选B.因为f(x)＝sin x＋cos x＋1＝2sin (x＋)＋1在x∈[0，2π]上有两个零点，
所以sin (x＋)＝－，x＋∈[，],
所以x＋＝或x＋＝，
所以x＝或x＝，又α<β，
故α＝，β＝，
故α－β＝－，
故sin (α－β)＝－.故选B.
7．(多选)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x，x∈R，则f(x)(　　)
A.是最小正周期为π的奇函数
B．最小值为－，最大值为
C．最小值为0，最大值为
D．是最小正周期为的偶函数
解析：选CD.因为f(x)＝2cos2x·sin2x＝sin22x＝，所以f(x)的最小正周期为＝，且为偶函数，最小值为0，最大值为.
8．(多选)函数y＝sin x cos x＋cos2x－图象的一个对称中心为(　　)
A．(，－) B．(，－)
C．(－，) D．(，－)
解析：选AB.因为y＝sinx cos x＋cos2x－
＝sin2x＋cos 2x－＝sin (2x＋)－，
令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－＋，k∈Z，
即函数图象的对称中心为(－＋，－)，k∈Z，
当k＝1时，对称中心为(，－)，
当k＝2时，对称中心为(，－).故选AB.
9．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，则f(x)在下列区间上单调递增的是(　　)
A．[－，－] B．[－，]
C．[π，] D．[－，]
解析：选BC.f(x)＝sin 2x－cos 2x
＝(sin 2x－cos 2x)＝sin (2x－).
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
整理得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
令k＝0，－1，则单调递增区间为[－，]和[－，－]，可知A，D错误，B正确；
令k＝1，则单调递增区间为[，]，而[π，] [，]，故C正确．故选BC.
10．(多选)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)cos ωx－，ω>0.若f(x)的图象中离y轴最近的对称轴为x＝，则(　　)
A．ω＝2
B．f(x)图象的一个对称中心是(，0)
C．f(x)的最小正周期为π
D．f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z
解析：选BCD.f(x)＝2sin (ωx＋)cos ωx－＝2×sin ωx cos ωx＋2×cos ωx cos ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin (2ωx＋)，则令2ωx＋＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，因为f(x)的图象中离y轴最近的对称轴为x＝，且ω>0，则＝，故ω＝1，A错误；把x＝代入f(x)＝sin (2x＋)，则f()＝0，故(，0)是f(x)图象的一个对称中心，B正确；因为f(x)＝sin (2x＋)，故f(x)的最小正周期为＝π，C正确；令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z，D正确．故选BCD.
二、填空题
11．函数f(x)＝(cos x－sin x)cos (－x)的最小正周期是______．
解析：f(x)＝(cos x－sin x)cos (－x)＝(cos x－sin x)·sin x＝sin 2x－＝sin (2x＋)－，
所以最小正周期为＝π.
答案：π
12．直线 x＝和x＝是曲线y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的相邻的两条对称轴，则ω＝________．
解析：因为直线 x＝和x＝是曲线y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的相邻的两条对称轴，所以＝－＝，得T＝π，所以T＝＝π，得ω＝2.
答案：2
13．函数f(x)＝cos2x＋sinx cos x的单调递减区间为____________．
解析：因为f(x)＝cos2x＋sinx cos x＝＋sin 2x＝sin (2x＋)＋，则函数的单调递减区间为＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
答案：[＋kπ，＋kπ]，k∈Z
14．已知φ为第一象限角，若函数f(x)＝2cos (x－φ)＋cos x的最大值是，则f()＝___________________________________________.
解析：由题意可得，f(x)＝2cos (x－φ)＋cos x
＝2cos x cos φ＋2sin x sin φ＋cos x
＝2sin φsin x＋(2cos φ＋1)cos x
＝sin (x＋α)，
则＝，
解得cos φ＝，且φ为第一象限角，
则sin φ＝＝，
故f()＝2cos(－φ)＋cos
＝cos φ＋sin φ＋＝.
答案：
三、解答题
15．已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω>0.若函数f(x)的图象关于点(，0)对称，且函数f(x) 在[0，]上单调，求ω的值．
解：因为f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝2(sin ωx－cos ωx)＝2sin (ωx－)，
且函数f(x)的图象关于点(，0)对称，
所以－＝kπ，k∈Z，
所以ω＝3k＋1，k∈Z，
由x∈[0，]，ω>0，则ωx－∈[－，－]，
又函数f(x)在[0，]上单调，
所以
解得0<ω≤，
所以当k＝0时，ω＝1.
16．已知函数f(x)＝sin (x－)＋cos (－x)＋cos x＋a，且f()＝1.
(1)求常数a的值；
(2)求使f(x)<0成立的实数x的取值集合．
解：(1)f(x)＝sin (x－)＋cos (－x)＋cos x＋a＝sin xcos －cos x sin ＋cos cos x＋sin sin x＋cos x＋a
＝sin x－cos x＋cos x＋sin x＋cos x＋a
＝sin x＋cos x＋a＝2sin (x＋)＋a.
又f()＝2sin (＋)＋a＝2＋a＝1，
所以a＝－1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin (x＋)－1，
f(x)<0，即2sin (x＋)－1<0，
所以sin (x＋)<，
所以－＋2kπ解得－＋2kπ则使f(x)<0成立的实数x的取值集合为
.　
17．已知函数f(x)＝sin x cos x－sin 2x＋t(x∈R)的最大值为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若 x∈[，]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．
解：(1)f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t
＝sin2x－＋t
＝sin 2x＋cos 2x＋t－
＝sin (2x＋)＋t－，
因为f(x)的最大值为，
所以＋t－＝，解得t＝，
所以f(x)＝sin (2x＋).
(2)由(1)可知f(x)＝sin (2x＋)，
当x∈[，]时，≤2x＋≤，
当2x＋＝，
即x＝时，f(x)max＝.
因为f(x)－m≤0恒成立，
所以m≥f(x)max，
即m≥，因此实数m的最小值为.