强化课　三角恒等变换与三角函数的性质（教师版）

INCLUDEPICTURE "强化课LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\强化课LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　三角恒等变换与三角函数的性质
题型一　恒等变换与三角函数的周期性
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)已知函数f(x)＝sin2x＋sinx·cos x－，则f(x)的最小正周期为(　　)
A．1 B．π
C．2 D．2π
(2)若函数f(x)＝2cos2(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为π，则f()＝________．
【解析】　(1)f(x)＝sin2x＋sinx cos x－
＝sin 2x＋－
＝sin 2x－cos 2x＝sin (2x－)，
因此，函数f(x)的最小正周期T＝＝π.故选B.
(2)因为f(x)＝2cos2(ωx＋)＝cos(2ωx＋)＋1，
且f(x)的最小正周期为π，
所以T＝＝π，解得ω＝1，
所以f(x)＝cos (2x＋)＋1，
则f()＝cos (＋)＋1
＝cos π＋1＝0.
【答案】　(1)B　(2)0
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
探求三角函数的周期，常采用公式法，即先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，再利用公式T＝求解．　
[跟踪训练1] (1)函数f(x)＝4sin2x－1的最小正周期是(　　)
A．π B．
C． D．2π
解析：选A.依题意，f(x)＝－2cos2x＋1，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选A.
(2)已知函数f(x)＝cos42ax－sin42ax(a>0)的最小正周期为π，则常数a的值为________．
解析：f(x)＝cos42ax－sin42ax＝(cos22ax＋sin22ax)·(cos22ax－sin22ax)＝cos22ax－sin22ax＝cos4ax，由最小正周期为π得＝π，解得a＝.
答案：
题型二　恒等变换与三角函数的奇偶性
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知函数f(x)＝a sin (x＋)－cos (x＋)，其中a∈R.当a为何值时，f(x)为偶函数？
【解】　由函数f(x)＝a sin (x＋)－cos (x＋)，可得f()＝a＋，f(－)＝－a－，
若f(x)是偶函数，则f()＝f(－)，
即a＋＝－a－，可得a＝－3，
当a＝－3时，函数f(x)＝－3sin (x＋)－cos (x＋)＝(－－)cos x，
此时函数满足f(－x)＝f(x)，函数f(x)为偶函数．
【变式探究】
(设问变式)本例条件不变，当a为何值时，f(x) 为奇函数？
解：由f(x)＝a sin (x＋)－cos (x＋)，
可得f(0)＝a－，
若f(x)是奇函数，则f(0)＝0，可得a＝，
当a＝时，f(x)＝sin (x＋)－cos (x＋)＝(＋)sin x，
此时函数满足f(－x)＝－f(x)，函数f(x)为奇函数．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
判断三角函数的奇偶性，往往先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，然后根据诱导公式寻求适当的φ值，把函数转化为y＝A sin ωx或y＝A cos ωx(A≠0，ω＞0).　　
[跟踪训练2] 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.若函数y＝f(x＋m)是偶函数，求|m|的最小值．
解：由题意得，f(x)＝sin 2x＋cos 2x
＝2sin (2x＋)，
所以f(x＋m)＝2sin [2(x＋m)＋]
＝2sin (2x＋2m＋)，
又因为y＝f(x＋m)是偶函数，
所以2m＋＝＋kπ(k∈Z)，
即m＝＋(k∈Z)，
当k＝0时，|m|最小，最小值为.
题型三　恒等变换与三角函数的对称性
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知函数f(x)＝sin (2x＋)＋sin (2x－)，求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标．
【解】　由函数f(x)＝sin (2x＋)＋sin (2x－)＝sin (2x＋)＋sin (2x＋－)
＝sin (2x＋)－cos (2x＋)
＝sin (2x＋)，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z；
令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z，
即函数f(x)图象的对称中心的坐标为(－，0)，k∈Z.　
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
探求三角函数的对称性，先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的形式，若探求函数图象的对称轴，则把ωx＋φ看作y＝sin x或y＝cos x图象的对称轴，求得x即可；若探求函数图象的对称中心，则把ωx＋φ看作y＝sin x或y＝cos x图象的对称中心的横坐标，进而得到y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)图象的对称中心．　
[跟踪训练3] (1)已知函数f(x)＝sin x cos x－cos2x，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于点(，－)对称
B．关于点(，－)对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
解析：选A.f(x)＝sin2x－
＝sin (2x－)－.
因为f()＝sin (2×－)－＝－，所以函数f(x)的图象关于点(，－)对称，不关于直线x＝对称，因此A正确，C不正确；
因为f()＝sin (2×－)－＝0，所以函数f(x)的图象不关于点(，－)对称，也不关于直线x＝对称，因此B，D都不正确．故选A.
(2)已知函数f(x)＝a sin x＋cos x的图象关于直线x＝对称，则a＝________．
解析：由f(x)＝a sin x＋cos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝，可得f(x)max＝，由函数f(x) 的图象关于直线x＝对称，可得f()＝±，即＋＝±，整理得a2－2a＋3＝0，解得a＝.
答案：
题型四　恒等变换与三角函数的单调性、最值
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知函数f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在区间[－，]上的最小值和最大值．
【解】　(1)f(x)＝2sin x(cos x－sin x)＋
＝sin 2x－(1－cos 2x)＋＝sin 2x＋cos 2x＋－1
＝sin (2x＋)＋－1.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z).
(2)因为x∈[－，]，
所以－≤2x＋≤，
所以－≤sin (2x＋)≤1.
所以－1≤sin (2x＋)≤.
所以－2≤sin (2x＋)＋－1≤2－1.
所以函数f(x)在区间[－，]上的最小值是－2，最大值是2－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
探求三角函数的单调性、最值，先通过诱导公式及恒等变换把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω＞0)的形式，若求函数的单调区间，则把ωx＋φ整体代入y＝sin x或y＝cos x的相应单调区间内，求得x的范围即可；若求函数的最值或值域，可由定义域求得ωx＋φ的范围，进而得到A sin (ωx＋φ)或A cos (ωx＋φ)的范围．　
[跟踪训练4] 已知函数f(x)＝a sin ωx cos ωx(a>0，ω>0)，f(x)的最大值为1，f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1，求函数g(x)在(0，π)上的单调递增区间．
解：(1)因为f(x)＝a sin ωx cos ωx(a>0，ω>0)，
所以f(x)＝a sin 2ωx，
因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以T＝＝π，解得ω＝1，
所以f(x)＝a sin 2x，又f(x)的最大值为1，
所以a＝1，解得a＝2，所以f(x)＝sin 2x.
(2)由(1)可得g(x)＝f(x)－2cos2ωx＋1＝sin2x－(cos 2x＋1)＋1＝sin 2x－cos 2x，
＝(sin 2x－cos 2x)
＝sin (2x－)，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，
又x∈(0，π)，所以g(x)在(0，π)上的单调递增区间有(0，]和[，π).