章末复习提升（教师版）
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章末复习提升
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要点一 平面向量数量积的运算
求平面向量的数量积主要有三种方法：(1)利用定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉；(2)利用向量数量积的几何意义：a·b＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；(3)利用数量积的坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
训练1 已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
训练2
INCLUDEPICTURE "../../../RABX29.TIF" \* MERGEFORMAT
窗，古时亦称为牗，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1 m的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则·的值为__________．
解析：不妨设小正方形EFGH的边长为a(0答案：0
要点二 平面向量数量积的应用
主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算．
训练3 (2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A.λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
解析：选D.转化法：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
训练4 (2023·全国甲卷)已知向量a＝，b＝，则cos 〈a＋b，a－b〉＝( )
A． B．
C． D.
解析：选B.由题意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝，故选B.
训练5 已知向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|＝____________．
解析：因为向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝|a||b|cos 150°＝1××(－)＝－，因此|a＋2b|＝＝＝.
答案：
训练6 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a，|c|＝2，可得解得或故c＝(2，4)或c＝(－2，－4).
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，所以2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，所以cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，所以θ＝π.
要点三 三角函数式的求值
三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换．
训练7 已知α为第二象限角，且tan (α－π)＝－，则cos ＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选A.因为tan α＝tan (α－π)＝－，又α为第二象限角，所以sin α＝，cos α＝－，所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝－×(－)－×＝.
训练8 若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则( )
A．tan ＝1 B．tan ＝1
C．tan ＝－1 D．tan ＝－1
解析：选C.由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1，故选C.
训练9 已知0<α<<β<π，sin α＝，sin (α＋β)＝，则sin β＝________．
解析：由0<α<<β<π，
得<α＋β<，
由sin α＝，故cos α＝＝，
sin (α＋β)＝，
故cos (α＋β)＝－＝－，
故sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－(－)×＝.
答案：
要点四 三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式．
训练10 (1)化简：
(0＜α＜π)；
(2)求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝sin 3α.
解：(1)原式
＝
＝
＝＝.
因为0＜α＜π，所以0＜＜，
所以cos＞0，所以上式＝＝cos α.
(2)证明：左边＝sin α(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝sin α(cos2α－sin2α)＝(2sinαcos2α＋sinαcos 2α)＝(sin 2αcos α＋cos 2αsin α)＝sin (2α＋α)＝sin 3α＝右边，故等式成立．
训练11 求证：··＝tan .
证明：左边＝··
＝
＝
＝
＝tan＝右边，所以等式成立．
要点五 三角恒等变换与三角函数的综合问题
利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形．常用倍角的降幂公式、辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简．
训练12 (多选)关于函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于点(－，)中心对称
C．f(x)的最大值为＋2
D．f(x)在区间[－，]上单调递减
解析：选BC.f(x)＝2sinx cos x＋2cos2x
＝sin2x＋(cos 2x＋1)
＝2sin (2x＋)＋，
故函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A错误；
f(－)＝2sin (－＋)＋＝0＋＝，
所以函数f(x)的图象关于点(－，)中心对称，故B正确；
因为f(x)＝2sin (2x＋)＋，
所以函数的最大值为2＋，故C正确；
由x∈[－，]，2x＋∈[－，]，函数y＝sin x在区间[－，]上单调递增，所以函数f(x)在区间[－，]上单调递增，故D错误．故选BC.
训练13 设函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[，]时，求函数f(x)的最大值和最小值并求出对应的x.
解：(1)因为f(x)＝sin(2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋
＝sin2x cos －cos 2x sin ＋sin 2x cos ＋cos 2x sin －2cos2x＋
＝2sin2x cos －(2cos2x－1)
＝sin2x－cos 2x＝2sin (2x－)，
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)当x∈[，]时，2x－∈[－，]，
此时sin (2x－)∈[－，1]，
可得f(x)∈[－1，2]，
所以f(x)的最大值为2，此时2x－＝，
得x＝；f(x)的最小值为－1，
此时2x－＝－，得x＝.
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要点一 平面向量数量积的运算
求平面向量的数量积主要有三种方法：(1)利用定义a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉；(2)利用向量数量积的几何意义：a·b＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；(3)利用数量积的坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
训练1 已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝( )
A．－3 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为＝－＝(1，t－3)，所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
训练2
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窗，古时亦称为牗，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件．如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1 m的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则·的值为__________．
解析：不妨设小正方形EFGH的边长为a(0
要点二 平面向量数量积的应用
主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算．
训练3 (2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A.λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
解析：选D.转化法：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.
训练4 (2023·全国甲卷)已知向量a＝，b＝，则cos 〈a＋b，a－b〉＝( )
A． B．
C． D.
解析：选B.由题意知，a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以cos 〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝，故选B.
训练5 已知向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，则|a＋2b|＝____________．
解析：因为向量a，b的夹角为150°，|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝|a||b|cos 150°＝1××(－)＝－，因此|a＋2b|＝＝＝.
答案：
训练6 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，2).
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：(1)设c＝(x，y)，由c∥a，|c|＝2，可得解得或故c＝(2，4)或c＝(－2，－4).
(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，所以2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，所以cos θ＝＝－1.又θ∈[0，π]，所以θ＝π.
要点三 三角函数式的求值
三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换．
训练7 已知α为第二象限角，且tan (α－π)＝－，则cos ＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选A.因为tan α＝tan (α－π)＝－，又α为第二象限角，所以sin α＝，cos α＝－，所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝－×(－)－×＝.
训练8 若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则( )
A．tan ＝1 B．tan ＝1
C．tan ＝－1 D．tan ＝－1
解析：选C.由题意得sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2×(cos α－sin α)sin β，整理得sin αcos β－sin βcos α＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，所以tan (α－β)＝－1，故选C.
训练9 已知0<α<<β<π，sin α＝，sin (α＋β)＝，则sin β＝________．
解析：由0<α<<β<π，
得<α＋β<，
由sin α＝，故cos α＝＝，
sin (α＋β)＝，
故cos (α＋β)＝－＝－，
故sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－(－)×＝.
答案：
要点四 三角函数式的化简与证明
三角函数式的化简与证明是常考内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式．
训练10 (1)化简：
(0＜α＜π)；
(2)求证：sin αsin (60°＋α)sin (60°－α)＝sin 3α.
解：(1)原式
＝
＝
＝＝.
因为0＜α＜π，所以0＜＜，
所以cos＞0，所以上式＝＝cos α.
(2)证明：左边＝sin α(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝sin α(cos2α－sin2α)＝(2sinαcos2α＋sinαcos 2α)＝(sin 2αcos α＋cos 2αsin α)＝sin (2α＋α)＝sin 3α＝右边，故等式成立．
训练11 求证：··＝tan .
证明：左边＝··
＝
＝
＝
＝tan＝右边，所以等式成立．
要点五 三角恒等变换与三角函数的综合问题
利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形．常用倍角的降幂公式、辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简．
训练12 (多选)关于函数f(x)＝2sin x cos x＋2cos2x，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于点(－，)中心对称
C．f(x)的最大值为＋2
D．f(x)在区间[－，]上单调递减
解析：选BC.f(x)＝2sinx cos x＋2cos2x
＝sin2x＋(cos 2x＋1)
＝2sin (2x＋)＋，
故函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A错误；
f(－)＝2sin (－＋)＋＝0＋＝，
所以函数f(x)的图象关于点(－，)中心对称，故B正确；
因为f(x)＝2sin (2x＋)＋，
所以函数的最大值为2＋，故C正确；
由x∈[－，]，2x＋∈[－，]，函数y＝sin x在区间[－，]上单调递增，所以函数f(x)在区间[－，]上单调递增，故D错误．故选BC.
训练13 设函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈[，]时，求函数f(x)的最大值和最小值并求出对应的x.
解：(1)因为f(x)＝sin(2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋
＝sin2x cos －cos 2x sin ＋sin 2x cos ＋cos 2x sin －2cos2x＋
＝2sin2x cos －(2cos2x－1)
＝sin2x－cos 2x＝2sin (2x－)，
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)当x∈[，]时，2x－∈[－，]，
此时sin (2x－)∈[－，1]，
可得f(x)∈[－1，2]，
所以f(x)的最大值为2，此时2x－＝，
得x＝；f(x)的最小值为－1，
此时2x－＝－，得x＝.