章末综合检测(二)（教师版）

章末综合检测(二)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．化简：－＝(　　)
A．2sin 4 B．－2sin 4
C．2cos 4 D．－2cos 4
解析：选C.因为－
＝－，
又＜4＜，所以cos 4＞sin 4，sin 4＋cos 4＜0，
所以原式＝cos 4－sin 4－[－(sin 4＋cos 4)]＝2cos 4.故选C.
2．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2，1)，a＋3b＝(5，4)，则sin θ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.设b＝(x，y)，
则a＋3b＝(2＋3x，1＋3y)＝(5，4)，
所以
解得
即b＝(1，1)，
所以cos θ＝＝，
所以sin θ＝＝.
3．已知α∈(，π)，且sin(α＋)＝，则cos α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.因为α∈(，π)，
所以α＋∈(，).
又sin (α＋)＝，
所以cos (α＋)＝－
＝－，故cosα＝cos
＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin
＝－×＋×＝.故选A.
4．已知|a|＝1，|b|＝2且a⊥(a＋b)，则a在b上的投影的数量为(　　)
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选C.因为a⊥(a＋b)，所以a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0，所以a·b＝－1，所以a在b上的投影的数量为＝－.故选C.
5．已知cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan αtan β的值为(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：选B.由cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，联立方程组，可得cos αcos β＝，sin αsin β＝－，又由tan αtan β＝＝－.故选B.
6．如果α∈，且sin α＝，则sin －cos (π－α)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选B.sin －cos (π－α)＝sin α＋cos α＋cos α＝sin α＋cos α.因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－.所以sin α＋cos α＝×－×＝－.
7．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选B.由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.
8．若＝，则tan (α＋)＝(　　)
A．3 B．
C．－3 D．－
解析：选B.由题知，当cos α＝0时，原等式不成立，故cos α≠0，
对原式左侧分子、分母均除以cos α，可得＝，所以tan α＝2，所以tan (α＋)＝＝＝.故选B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．化简下列各式，结果为tan α的是(　　)
A.
B．
C. ·(α∈(0，π))
D．
解析：选CD.A不符合， ＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝ ·＝＝tan α；D符合，＝＝tan α.
10．设a，b，c是三个向量，下列命题正确的是(　　)
A．a，b反向 a·b＝－|a||b|
B．若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c
C．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
D．(a·b)c－(c·a)b＝0
解析：选AC.A中，因为a与b反向，所以夹角为180°，因此a·b＝|a||b|cos 180°＝－|a||b|，反之也成立，故A正确；B中，a·b－a·c＝a·(b－c)＝0，又a≠0，则b＝c或a⊥(b－c)，故B错误；C中，左边＝9a2－4b2＝9|a|2－4|b|2＝右边，故C正确；D中，由于数量积是实数，因此(a·b)c，(c·a)b分别表示与c，b共线的向量，运算结果不为0，故D错误．
11．已知向量m＝(2cos2x，)，n＝(1，sin2x)，设函数f(x)＝m·n，则下列关于函数f(x)的性质的描述正确的是(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝对称
B．f(x)的图象关于点对称
C．最小正周期为
D．f(x)在上单调递增
解析：选AD.f(x)＝2cos2x＋sin2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝2sin ＋1.当x＝时，sin ＝sin ＝1，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；
当x＝时，sin ＝0，所以函数f(x)的图象关于点对称，不关于点对称，选项B错误；
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π≠，选项C错误；当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在上单调递增，选项D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知sin ＝，则sin ＝________.
解析：sin ＝sin ＝cos ＝cos ＝1－2sin2＝1－＝.
答案：
13．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________，|2a－b|＝________．
解析：因为a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，所以a·b＝3.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2.
答案：　2
14．已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝________.
解析：因为sin2＋cos＝＋cos A－sin A＝，所以sin A＝.
又sin B＝，A，B均为钝角，所以cos A＝－，cos B＝－，所以cos (A＋B)＝cos Acos B－sin A sin B＝(－)×(－)－×＝.又π＜A＋B＜2π，所以A＋B＝.
答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知α，β∈(0，)，cos α＝，cos (α＋β)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求cos (α＋2β)的值．
解：(1)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π.
又cos α＝，cos (α＋β)＝，
所以sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]
＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝×－ ×＝.
(2)由(1)可知，cos β＝＝，
所以cos(α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β]
＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β
＝×－×＝.
16．(本小题满分15分)已知向量a与向量b的夹角为，且|a|＝1，|2a－b|＝.
(1)求|b|；
(2)若a⊥(a－λb)，求实数λ的值．
解：(1)由|2a－b|＝，
得4|a|2－4a·b＋|b|2＝7，
则|b|2－2|b|－3＝0，
解得|b|＝3或|b|＝－1(舍去)，
所以|b|＝3.
(2)由a⊥(a－λb)，得a·(a－λb)＝0，
所以a2－λa·b＝0，
所以1－λ＝0，所以λ＝.
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝A sin ，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
解：(1)因为f(x)＝A sin ，
且f＝，
所以A sin ＝，
即A sin ＝，所以A＝3.
(2)由(1)知f(x)＝3sin ，
因为f(θ)－f(－θ)＝，
所以3sin －3sin ＝，
展开得3(sin θ＋cos θ)－3(cos θ－sin θ)＝，化简得sin θ＝.因为θ∈，所以cos θ＝.
所以f＝3sin
＝3sin ＝3cos θ＝.
18．(本小题满分17分)已知＝(4，0)，＝(2，2)，＝(1－λ)＋λ(λ2≠λ).
(1)求·及在上的投影的数量；
(2)证明A，B，C三点共线，并在＝时，求实数λ的值；
(3)求||的最小值．
解：(1)·＝8，设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
所以在上的投影的数量为||cos θ＝4×＝2.
(2)＝－＝(－2，2)，＝－＝(1－λ)－(1－λ)＝(λ－1)，因为与有公共点B，所以A，B，C三点共线．
当＝时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)||2＝(1－λ)2||2＋2λ(1－λ)·＋λ2||2＝16λ2－16λ＋16＝16＋12.
所以当λ＝时，||取到最小值2.
19．(本小题满分17分)已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为a＝(1，－)，
b＝，
所以f(x)＝a·b＝sinx－
＝sinx－cos x.
因为f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，
所以tan θ＝，
所以＝＝＝＝－2＋.
(2)由(1)知f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，
因为x∈[0，π]，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
所以当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2].