8．1.1 向量数量积的概念（教师版）
文档属性
| 名称 | 8．1.1 向量数量积的概念（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 598.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
INCLUDEPICTURE "数学RJBBX3第八章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\数学RJBBX3第八章LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\数学RJBBX3第八章LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
8．1 向量的数量积
8．1.1 向量数量积的概念
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.理解向量投影的数量的含义及投影向量的含义．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\sss1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\sss1.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α.
思考1 这个公式中哪些是向量，哪些是数量？
提示：F(力)、s(位移)是向量；W(功)、α是数量．
思考2 你能用文字语言表述功的计算公式吗？
提示：功是力与位移大小及其夹角余弦的乘积．
1．给定
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\BQB20.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BQB20.TIF" \* MERGEFORMATINET
两个____________向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的____________为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)〈a，b〉的取值范围是[0，π].
(2)〈a，b〉＝〈b，a〉．
2．当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量________．
点拨 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
[答案自填] 非零 ∠AOB 垂直
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 如图，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-2a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-2a.TIF" \* MERGEFORMATINET
等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角．
(1)与；(2)与；
(3)与.
【解】 (1)与的夹角是∠EDF＝60°.
(2)因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120°.
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-2b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-2b.TIF" \* MERGEFORMATINET
(3)如图，延长FD至B′，使DB′＝FD，
则＝，则与的夹角等于与的夹角，即∠EDB′＝120°.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
[跟踪训练1] 如图，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\AF46.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\AF46.TIF" \* MERGEFORMATINET
已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
解：
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\AF47.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\AF47.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，所以∠DBC为向量与的夹角．
因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°，
所以向量与的夹角为120°.
(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
所以向量与的夹角为90°.
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉.
点拨 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”．
(2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数．既可以是正数，也可以是0，还可以是负数．
(3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(对接教材例1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求a·b；
(2)已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·.
【解】 (1)由已知得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×2×cos 120°＝－4.
(2)①因为与的夹角为60°，所以·＝||||·cos 60°＝1×1×＝.
②因为与的夹角为120°，所以·＝||||·cos 120°＝1×1×(－)＝－.
③因为与的夹角为60°，所以·＝||||·cos 60°＝1×1×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角θ，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
[跟踪训练2] (1)若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为120°，则m·n＝( )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
解析：选D.m·n＝|m||n|cos 120°＝4×6×cos 120°＝24×＝－12.故选D.
(2)已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
解析：选D.由题得||2＝||2＋||2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D.
1．|a·b|≤|a||b|.
2．a·a＝|a|2，即|a|＝，a2＝|a|2.
3．a⊥b a·b＝0.
4．如果a，b都是非零向量，则cos 〈a，b〉＝.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b| a∥b
B．a，b反向 a·b＝－|a||b|
C.a⊥b |a＋b|＝|a－b|
D．|a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
(2)已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝________．
【解析】 (1)A中，设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题；B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题；C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题；D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题．
(2)由题意，得cos 〈a，b〉＝＝＝－1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π.
【答案】 (1)ABC (2)π
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求两个非零向量a，b的夹角θ或其余弦值时一般采用夹角公式cos θ＝.根据题中条件可求出|a|，|b|和a·b，从而可得cos θ及θ.确定θ时要注意θ∈[0，π]；当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝.
[跟踪训练3] 在△ABC中，设＝a，＝b，若|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，则∠ACB＝________．
解析：设与的夹角为θ，
因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，
所以a·b＝|a||b|cos θ＝2×1×cos θ＝－1，
所以cos θ＝－，
所以θ＝120°，所以∠ACB＝60°.
答案：60°
四 向量的投影与向量数量积的几何意义
1．投影向量
如图，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\QQZ1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\QQZ1.TIF" \* MERGEFORMATINET
设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的__________或________．
2．投影的数量
一般地，如果a，b都是非零向量，则称________________________为向量a在向量b上的投影的数量．
[答案自填] 投影向量 投影 |a|cos 〈a，b〉
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为( )
A．2 B．－2
C．2b D．－2b
(2)已知a·b＝12且|b|＝5，则向量a在向量b上的投影的数量为( )
A． B．
C． D．
【解析】
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\BQB21.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BQB21.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)如图所示，＝a，＝b，过A作AA′⊥BO的延长线，垂足为A′，
所以a在b上的投影为，
因为∠AOB＝120°，
所以∠AOA′＝60°，OA＝8，
所以OA′＝OA·cos 60°＝8×＝4，
又|b|＝2.所以＝－2b.
(2)因为a·b＝12且|b|＝5，所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝.故选A.
【答案】 (1)D (2)A
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
投影的数量可正、可负、可为零，其符号取决于两向量之间的夹角，向量的夹角是由两个向量的方向确定的，如在△ABC中，与，与，与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．因此，找准两个向量之间的夹角是关键．确定两个向量的夹角时，一定要注意“共始点”．
[跟踪训练4] (1)在等腰梯形ABCD中，＝2，则向量在向量上的投影为( )
A． B．
C． D．
解析：
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-3.TIF" \* MERGEFORMATINET
选C.如图，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB于E，F，
在等腰梯形ABCD中，＝2，可得AE＋BF＝DC＝AB，则AE＝BF＝AB，故向量在向量上的投影为.
(2)已知平面向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝2，则b在a上的投影为________．
解析：依题意b在a上的投影为|b|cos 〈a，b〉
＝()＝·＝a.
答案：a
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中错误的是( )
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝
解析：选AB.a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，所以D正确．
2．(教材P79T1改编)已知|a|＝，|b|＝2，a与 b的夹角是120°，则a·b＝( )
A．3 B．－3
C．－3 D．3
解析：选B.由数量积的定义，得a·b＝|a||b|·cos 120°＝×2×(－)＝－3.故选B.
3．(教材P79T5改编)若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影为( )
A．－b B．－b
C．b D．－b
解析：选D.向量a在向量b上的投影是|a|cos 〈a，b〉＝2×cos 120°×＝－b.故选D.
4．(教材P80T1改编)在等边三角形ABC中，边长为2，则·＝____________，·＝____________．
解析：·＝||||cos B＝2×2×＝2，
·＝－·＝－||||cos A＝－2×2×＝－2.
答案：2 －2
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：向量的夹角、向量的数量积定义、投影．
2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法．
3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点；
(2)向量a在向量b上的投影与向量b在向量a上的投影不同．
8．1 向量的数量积
8．1.1 向量数量积的概念
1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积． 2.理解向量投影的数量的含义及投影向量的含义．
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INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
前面我们学习了向量的加、减运算，类比数的运算，向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？让我们带着这些问题共同开启今天的探索之旅吧！
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\sss1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\sss1.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，一物体在力F作用下产生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cos α.
思考1 这个公式中哪些是向量，哪些是数量？
提示：F(力)、s(位移)是向量；W(功)、α是数量．
思考2 你能用文字语言表述功的计算公式吗？
提示：功是力与位移大小及其夹角余弦的乘积．
1．给定
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\BQB20.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BQB20.TIF" \* MERGEFORMATINET
两个____________向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的____________为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)〈a，b〉的取值范围是[0，π].
(2)〈a，b〉＝〈b，a〉．
2．当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量________．
点拨 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角．
[答案自填] 非零 ∠AOB 垂直
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 如图，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-2a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-2a.TIF" \* MERGEFORMATINET
等边三角形ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角．
(1)与；(2)与；
(3)与.
【解】 (1)与的夹角是∠EDF＝60°.
(2)因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠EDA＝120°.
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-2b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-2b.TIF" \* MERGEFORMATINET
(3)如图，延长FD至B′，使DB′＝FD，
则＝，则与的夹角等于与的夹角，即∠EDB′＝120°.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
[跟踪训练1] 如图，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\AF46.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\AF46.TIF" \* MERGEFORMATINET
已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
解：
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\AF47.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\AF47.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，所以∠DBC为向量与的夹角．
因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°，
所以向量与的夹角为120°.
(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
所以向量与的夹角为90°.
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos 〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos 〈a，b〉.
点拨 (1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”．
(2)两个非零向量的数量积a·b是一个实数．既可以是正数，也可以是0，还可以是负数．
(3)当a与b至少有一个是零向量时，a·b＝0.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(对接教材例1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求a·b；
(2)已知正三角形ABC的边长为1，求：①·；②·；③·.
【解】 (1)由已知得a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝4×2×cos 120°＝－4.
(2)①因为与的夹角为60°，所以·＝||||·cos 60°＝1×1×＝.
②因为与的夹角为120°，所以·＝||||·cos 120°＝1×1×(－)＝－.
③因为与的夹角为60°，所以·＝||||·cos 60°＝1×1×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角θ，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
[跟踪训练2] (1)若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为120°，则m·n＝( )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
解析：选D.m·n＝|m||n|cos 120°＝4×6×cos 120°＝24×＝－12.故选D.
(2)已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·＝( )
A．－7 B．7
C．25 D．－25
解析：选D.由题得||2＝||2＋||2，所以∠ABC＝90°，所以原式＝0＋4×5cos (180°－C)＋5×3cos (180°－A)＝－20cos C－15cos A＝－20×－15×＝－16－9＝－25.故选D.
1．|a·b|≤|a||b|.
2．a·a＝|a|2，即|a|＝，a2＝|a|2.
3．a⊥b a·b＝0.
4．如果a，b都是非零向量，则cos 〈a，b〉＝.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(多选)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中正确的是( )
A．|a·b|＝|a||b| a∥b
B．a，b反向 a·b＝－|a||b|
C.a⊥b |a＋b|＝|a－b|
D．|a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
(2)已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝________．
【解析】 (1)A中，设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cos θ，所以由|a·b|＝|a||b|及a，b为非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命题；B中，若a，b反向，则a，b的夹角为π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命题；C中，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长度相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的四边形为矩形，所以有a⊥b，因此C是真命题；D中，当|a|＝|b|时，如果a与c的夹角和b与c的夹角不相等，则|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命题．
(2)由题意，得cos 〈a，b〉＝＝＝－1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝π.
【答案】 (1)ABC (2)π
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求两个非零向量a，b的夹角θ或其余弦值时一般采用夹角公式cos θ＝.根据题中条件可求出|a|，|b|和a·b，从而可得cos θ及θ.确定θ时要注意θ∈[0，π]；当cos θ>0时，θ∈；当cos θ<0时，θ∈；当cos θ＝0时，θ＝.
[跟踪训练3] 在△ABC中，设＝a，＝b，若|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，则∠ACB＝________．
解析：设与的夹角为θ，
因为|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，
所以a·b＝|a||b|cos θ＝2×1×cos θ＝－1，
所以cos θ＝－，
所以θ＝120°，所以∠ACB＝60°.
答案：60°
四 向量的投影与向量数量积的几何意义
1．投影向量
如图，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\QQZ1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\QQZ1.TIF" \* MERGEFORMATINET
设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的__________或________．
2．投影的数量
一般地，如果a，b都是非零向量，则称________________________为向量a在向量b上的投影的数量．
[答案自填] 投影向量 投影 |a|cos 〈a，b〉
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为( )
A．2 B．－2
C．2b D．－2b
(2)已知a·b＝12且|b|＝5，则向量a在向量b上的投影的数量为( )
A． B．
C． D．
【解析】
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\BQB21.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BQB21.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)如图所示，＝a，＝b，过A作AA′⊥BO的延长线，垂足为A′，
所以a在b上的投影为，
因为∠AOB＝120°，
所以∠AOA′＝60°，OA＝8，
所以OA′＝OA·cos 60°＝8×＝4，
又|b|＝2.所以＝－2b.
(2)因为a·b＝12且|b|＝5，所以向量a在向量b上的投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝.故选A.
【答案】 (1)D (2)A
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
投影的数量可正、可负、可为零，其符号取决于两向量之间的夹角，向量的夹角是由两个向量的方向确定的，如在△ABC中，与，与，与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．因此，找准两个向量之间的夹角是关键．确定两个向量的夹角时，一定要注意“共始点”．
[跟踪训练4] (1)在等腰梯形ABCD中，＝2，则向量在向量上的投影为( )
A． B．
C． D．
解析：
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-3.TIF" \* MERGEFORMATINET
选C.如图，过C，D分别作DE⊥AB，CF⊥AB于E，F，
在等腰梯形ABCD中，＝2，可得AE＋BF＝DC＝AB，则AE＝BF＝AB，故向量在向量上的投影为.
(2)已知平面向量|a|＝3，|b|＝2，且a·b＝2，则b在a上的投影为________．
解析：依题意b在a上的投影为|b|cos 〈a，b〉
＝()＝·＝a.
答案：a
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中错误的是( )
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝
解析：选AB.a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；向量夹角的范围是[0，π]，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，所以|a|＝，所以D正确．
2．(教材P79T1改编)已知|a|＝，|b|＝2，a与 b的夹角是120°，则a·b＝( )
A．3 B．－3
C．－3 D．3
解析：选B.由数量积的定义，得a·b＝|a||b|·cos 120°＝×2×(－)＝－3.故选B.
3．(教材P79T5改编)若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b上的投影为( )
A．－b B．－b
C．b D．－b
解析：选D.向量a在向量b上的投影是|a|cos 〈a，b〉＝2×cos 120°×＝－b.故选D.
4．(教材P80T1改编)在等边三角形ABC中，边长为2，则·＝____________，·＝____________．
解析：·＝||||cos B＝2×2×＝2，
·＝－·＝－||||cos A＝－2×2×＝－2.
答案：2 －2
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：向量的夹角、向量的数量积定义、投影．
2．须贯通：向量的数量积是一个实数，不是向量；向量a在向量b上的投影是一个向量，不是数；二者都离不开向量的夹角，而解决向量的夹角时要结合具体的图形，应用数形结合的思想方法．
3．应注意：(1)用几何法求两个向量的夹角时，两个向量需共起点；
(2)向量a在向量b上的投影与向量b在向量a上的投影不同．