8．1.2　课后达标 检测（教师版）

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1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)＝(　　)
A． B．
C．3 D．5
解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a－b)＝4a2－b2＝4－1＝3.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C.由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1.故选C.
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选D.因为a∥b且a⊥c，
所以b⊥c，所以a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.
4．已知向量a，b的夹角为60°， 且|a|＝2，|a－2b|＝2，则向量b在a上的投影的数量为(　　)
A． B．
C． D．1
解析：选B.由题设，|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝28，而a·b＝|a||b|cos 60°＝|a|·|b|＝|b|，所以|b|2－|b|－6＝0，可得|b|＝3或|b|＝－2(舍去)，则向量b在a上的投影的数量为|b|cos 60°＝.故选B.
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)
A． B．－
C．9 D．－9
解析：选B.由题意，可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，所以a·b＋b·c＋c·a＝－.
6．(多选)设向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝1，则(　　)
A．a与b的夹角为60°
B．|a|2＋|b|2＝1
C．(a＋2b)·(2a＋b)＝2
D．a⊥b
解析：选BCD.对于A，D，因为|a＋b|＝|a－b|，故(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，故a与b的夹角为90°，a⊥b，故A错误，D正确；
对于B，因为|a＋b|＝1，故a2＋2a·b＋b2＝1，又因为a·b＝0，故|a|2＋|b|2＝1，故B正确；
对于C，(a＋2b)·(2a＋b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝2(a2＋b2)＝2，故C正确．故选BCD.
7．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|＝________．
解析：因为|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，所以|2a＋3b|＝16.
答案：16
8．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，则a与b的夹角为________．
解析：因为|a|＝2，|b|＝，|a＋b|＝，所以a2＋b2＋2a·b＝2，所以a·b＝－2，设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，因为0≤θ≤π，所以θ＝.
答案：
9．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝3，AB＝6，DE＝EC，BF＝BC，设＝a，＝b，则＝______________(用a，b表示)，·＝____________．
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解析：因为DE＝EC，所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b.因为BF＝BC，所以＝＋＝＋＝＋＝a＋b，因此·＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b2.因为∠DAB＝60°，AD＝3，AB＝6，所以|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，所以·＝×36＋×6×3×＋×9＝.
答案：a＋b　
10．已知平面向量a，b，若|a|＝1，|b|＝2，且|a－b|＝.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)若c＝t a＋b，且a⊥c，求t的值及|c|.
解：(1)由|a－b|＝，得a2－2a·b＋b2＝7，
所以1－2×1×2×cos θ＋4＝7，
所以cos θ＝－.又θ∈[0，π]，所以θ＝.
(2)因为a⊥c，所以a·(ta＋b)＝0，
所以ta2＋a·b＝0，所以t＋1×2×＝0，
所以t＝1，即c＝a＋b，所以c2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×＋4＝3.所以|c|＝.
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11．已知a，b为非零向量，若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b＝0，由|a－b|＝2|a|，可得3a2＝b2，所以|b|＝|a|，设向量a－b与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－＝－，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选D.
12．已知P是△ABC所在平面上一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选B.由|－|－|＋－2|＝0，可得||＝|＋－2|，即||＝|＋|，即|－|＝|＋|.等式|－|＝|＋|两边平方，化简得·＝0，所以⊥，即AB⊥AC，因此，△ABC是直角三角形．故选B.
13．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量．若a＝3e1＋2e2，b＝t e1＋2e2，其中t∈R，若a，b的夹角为锐角，则t的取值范围是________．
解析：因为a，b的夹角为锐角，
所以a·b>0，且a，b不同向共线，
当a·b>0时，(3e1＋2e2)·(t e1＋2e2)
＝3t e＋(6＋2t)e1·e2＋4e
＝3t＋(6＋2t)＋4>0，
解得t>－，当a，b同向共线时，存在唯一的实数λ(λ>0)，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(t e1＋2e2)，
所以解得
所以当t≠3时，a，b不同向共线，
综上，t的取值范围为(－，3)∪(3，＋∞).
答案：(－，3)∪(3，＋∞)
14．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
解：(1)证明：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)因为|ka＋b＋c|>1，
所以(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
因为a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－，
所以k2－2k>0，
解得k<0或k>2，
即k的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
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15．顺次连接图1中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图2).已知正六边形的边长为1，点M满足＝(＋)，则||＝______________；若点P是正六边形内部一点(包含边界)，则·的最大值是________．
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解析：由题可知||＝||＝1，〈，〉＝，
所以2＝(＋)2
＝(2＋2·＋2)
＝×(1－2×＋1)＝，所以||＝.
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设向量，的夹角为θ，P在直线AB上的投影为P′，要使·最大，则θ∈，因为·＝||·||cos θ＝||||，由图可知当P在C处时，·最大，
此时||＝||＝，θ＝，
·＝×1×＝.
答案：　
16.
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如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD边上运动(含C，D点).
(1)若点F是CD上靠近点C的三等分点，设＝λ＋μ，求λ＋μ的值；
(2)若AB＝2，当·＝1时，求 cos ∠EAF 的值．
解：(1)因为E是BC的中点，点F是CD上靠近点C的三等分点，
所以＝＝，＝－＝－，所以＝＋＝－＋，
又＝λ＋μ，
所以λ＝－，μ＝，故λ＋μ＝－＋＝.
(2)设＝m(0≤m≤1)，
则＝＋＝－m，
又＝＋＝＋，·＝0，
所以·＝(＋)·(－m)＝－m2＋2＝－4m＋2＝1，故m＝.
所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＝3＋2＝5，
易得||＝，||＝，
所以cos ∠EAF＝＝＝.