8．1.2 向量数量积的运算律（教师版）
文档属性
| 名称 | 8．1.2 向量数量积的运算律（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 339.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
8．1.2 向量数量积的运算律
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式． 2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μ a)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考 向量的数量积是否也满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律？
提示：向量的数量积满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律．
1．平面向量数量积的运算律
运算律 向量数量积
交换律 a·b＝b·a
数乘结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c，(a－b)·c＝a·c－b·c
2.向量数量积的常用结论
(1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
(2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)；
(4)a2＋b2＝0 a＝b＝0.
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________；
(2)
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-7.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝________．
【解析】 (1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.
(2)由＝3，得＝＝，又＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2－·－2＝2.又2＝25，2＝64，所以·＝22.
【答案】 (1)－34 (2)22
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
向量数量积运算的两个关键点
(1)含向量线性运算的数量积求解：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；
(2)含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解．
[跟踪训练1] (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3.
(2)
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\AF54.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\AF54.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，在平行四边形ABCD 中，||＝4，||＝3，则·＝________．
解析：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝9－16＝－7.
答案：－7
角度1 向量模的计算
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(对接教材例2)已知向量a，b，若|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则|2a＋b|＝( )
A．1 B．
C．2 D．
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝3＋，|b|＝3－，且|a＋b|＝2，则|a－b|＝________．
【解析】 (1)因为|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，所以a·b＝－.故|2a＋b|2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4×12＋12＋4×＝3，因此|2a＋b|＝.故选B.
(2)|a＋b|＝2两边平方得a2＋2a·b＋b2＝24，即12＋6＋2a·b＋12－6＝24，所以a·b＝0.
所以|a－b|＝＝
＝＝2.
【答案】 (1)B (2)2
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
角度2 求两向量的夹角
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
(2)已知向量a，b满足|a－b|＝4，|a＋b|＝2，且|a|＝，则a与a＋b的夹角的余弦值为( )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 (1)设a与b的夹角为θ，
由题意得|2a－b|2＝37，
所以4|a|2＋|b|2－4a·b＝37，
又|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝－3，
所以|a||b|cos θ＝－3，则cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.
(2)因为|a－b|＝4，|a＋b|＝2，|a|＝，
所以2＋b2－2a·b＝16，①
2＋b2＋2a·b＝4，②
所以②－①得，4a·b＝－12，即a·b＝－3，
所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2－3＝－1，
所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝－.
【答案】 (1)D (2)A
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求向量夹角的基本步骤
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RJSXB41.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RJSXB41.TIF" \* MERGEFORMATINET
[跟踪训练2] (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝( )
A.2 B．4
C．6 D．8
解析：选A.因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，则||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2××2×cos ＋4)＝4.即||＝2.
(2)已知|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则向量a与b的夹角的余弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选B.因为|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，所以(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－2b2－3a·b＝4－2－3a·b＝0，所以a·b＝，所以cos 〈a，b〉＝＝.
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知非零向量a，b满足4|a|＝3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(x a＋b)⊥b，求实数x的值．
【解】 由4|a|＝3|b|，可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t.
因为(x a＋b)⊥b，所以(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2
＝x×3t×4t×＋(4t)2＝4t2(x＋4)＝0，
又t>0，所以x＝－4.
【变式探究】
(条件变式)本例中将“(x a＋b)⊥b”改为“x a＋b与b的夹角为锐角”，其余条件不变，求实数x的取值范围．
解：设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t，
则(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2
＝4t2(x＋4)>0，解得x>－4，若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b，所以m＝1，x＝0.
此时实数xa＋b与b同向，不符合题意．
所以实数x的取值范围为(－4，0)∪(0，＋∞).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合向量的模、夹角相关的知识解题．
[跟踪训练3] 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝m a－2b.求实数m为何值时，c⊥d.
解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
所以c·d＝(a＋5b)·(m a－2b)＝m a2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝0，
解得m＝.故当实数m＝时，c⊥d.
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例4)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
【证明】 ·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－||2＋·＋·
＝－||2＋||2＋||2＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解．
[跟踪训练4] 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋b，
＝＋＝b＋a，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋b2
＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B.因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
2．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角为( )
A． B．
C． D．
解析：选A.由a＝b＋c，可知c＝a－b，故c2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝.设a，b的夹角为θ，即cos θ＝，又0≤θ≤π，所以θ＝.故选A.
3．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选C.由题意知(3a＋5b)·(m a－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，所以3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.
4．若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，|b|＝2，c＝2a＋b，则向量c与b的夹角为________．
解析：由题知a·b＝1×2×cos ＝1，
所以c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝6，
|c|＝|2a＋b|＝＝＝2.
设向量c与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－2b|＝2|a＋b|，则a与b的夹角θ＝____________；a在 a＋b上的投影的数量为________．
解析：因为|a－2b|＝2|a＋b|，所以a2－4a·b＋4b2＝4a2＋8a·b＋4b2.因为|a|＝2，|b|＝1，所以4＋4＝16＋4＋12a·b，解得a·b＝－1，所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.又因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4－2＋1＝3，所以|a＋b|＝，所以a在a＋b上的投影的数量为＝＝＝.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直及向量在几何中的应用．
2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．
3．应注意：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．
1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式． 2.会利用向量的数量积证明垂直，求向量的夹角、模(长度)等．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律λ(μ a)＝(λμ)a，分配律(λ＋μ)a＝λa＋μ a(λ，μ∈R)，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考 向量的数量积是否也满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律？
提示：向量的数量积满足交换律、数乘结合律及对加法的分配律．
1．平面向量数量积的运算律
运算律 向量数量积
交换律 a·b＝b·a
数乘结合律 (λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c，(a－b)·c＝a·c－b·c
2.向量数量积的常用结论
(1)(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；
(2)a2－b2＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；
(3)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)；
(4)a2＋b2＝0 a＝b＝0.
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则(2a－b)·(a＋3b)＝________；
(2)
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25CF-7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25CF-7.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·＝________．
【解析】 (1)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2＝8－15－27＝－34.
(2)由＝3，得＝＝，又＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以(＋)·(－)＝2－·－2＝2.又2＝25，2＝64，所以·＝22.
【答案】 (1)－34 (2)22
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
向量数量积运算的两个关键点
(1)含向量线性运算的数量积求解：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；
(2)含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解．
[跟踪训练1] (1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选B.a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×1－(－1)＝3.
(2)
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\AF54.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\AF54.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图，在平行四边形ABCD 中，||＝4，||＝3，则·＝________．
解析：因为＝＋，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝2－2＝9－16＝－7.
答案：－7
角度1 向量模的计算
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)(对接教材例2)已知向量a，b，若|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则|2a＋b|＝( )
A．1 B．
C．2 D．
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝3＋，|b|＝3－，且|a＋b|＝2，则|a－b|＝________．
【解析】 (1)因为|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，所以a·b＝－.故|2a＋b|2＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4×12＋12＋4×＝3，因此|2a＋b|＝.故选B.
(2)|a＋b|＝2两边平方得a2＋2a·b＋b2＝24，即12＋6＋2a·b＋12－6＝24，所以a·b＝0.
所以|a－b|＝＝
＝＝2.
【答案】 (1)B (2)2
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求向量的模的常见思路及方法
(1)求模的问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)利用a·a＝a2＝|a|2或|a|＝可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
角度2 求两向量的夹角
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)设向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|2a－b|＝，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
(2)已知向量a，b满足|a－b|＝4，|a＋b|＝2，且|a|＝，则a与a＋b的夹角的余弦值为( )
A．－ B．－
C． D．
【解析】 (1)设a与b的夹角为θ，
由题意得|2a－b|2＝37，
所以4|a|2＋|b|2－4a·b＝37，
又|a|＝2，|b|＝3，所以a·b＝－3，
所以|a||b|cos θ＝－3，则cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角为.
(2)因为|a－b|＝4，|a＋b|＝2，|a|＝，
所以2＋b2－2a·b＝16，①
2＋b2＋2a·b＝4，②
所以②－①得，4a·b＝－12，即a·b＝－3，
所以a·(a＋b)＝a2＋a·b＝2－3＝－1，
所以cos 〈a，a＋b〉＝＝＝－.
【答案】 (1)D (2)A
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求向量夹角的基本步骤
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RJSXB41.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RJSXB41.TIF" \* MERGEFORMATINET
[跟踪训练2] (1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝( )
A.2 B．4
C．6 D．8
解析：选A.因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，则||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2××2×cos ＋4)＝4.即||＝2.
(2)已知|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则向量a与b的夹角的余弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
解析：选B.因为|a|＝，|b|＝1，且(a－2b)⊥(2a＋b)，所以(a－2b)·(2a＋b)＝2a2－2b2－3a·b＝4－2－3a·b＝0，所以a·b＝，所以cos 〈a，b〉＝＝.
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知非零向量a，b满足4|a|＝3|b|，a与b夹角的余弦值为，若(x a＋b)⊥b，求实数x的值．
【解】 由4|a|＝3|b|，可设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t.
因为(x a＋b)⊥b，所以(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2
＝x×3t×4t×＋(4t)2＝4t2(x＋4)＝0，
又t>0，所以x＝－4.
【变式探究】
(条件变式)本例中将“(x a＋b)⊥b”改为“x a＋b与b的夹角为锐角”，其余条件不变，求实数x的取值范围．
解：设|b|＝4t(t>0)，则|a|＝3t，
则(x a＋b)·b＝x a·b＋|b|2
＝4t2(x＋4)>0，解得x>－4，若xa＋b＝mb，m>0，xa＝(m－1)b，所以m＝1，x＝0.
此时实数xa＋b与b同向，不符合题意．
所以实数x的取值范围为(－4，0)∪(0，＋∞).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算代入，结合向量的模、夹角相关的知识解题．
[跟踪训练3] 已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝m a－2b.求实数m为何值时，c⊥d.
解：由已知得a·b＝2×1×cos 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
所以c·d＝(a＋5b)·(m a－2b)＝m a2＋(5m－2)a·b－10b2＝4m＋5m－2－10＝0，
解得m＝.故当实数m＝时，c⊥d.
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例4)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.
【证明】 ·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝－||2＋·＋·
＝－||2＋||2＋||2＝0，
所以⊥，即AD⊥CE.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用向量的数量积运算可以解决与长度、垂直、平行等有关的几何问题，解题的关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中所涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题，通过向量的数量积求解．
[跟踪训练4] 如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋b，
＝＋＝b＋a，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋b2
＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B.因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
2．设a，b，c都是单位向量，且a＝b＋c，则向量a，b的夹角为( )
A． B．
C． D．
解析：选A.由a＝b＋c，可知c＝a－b，故c2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝.设a，b的夹角为θ，即cos θ＝，又0≤θ≤π，所以θ＝.故选A.
3．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选C.由题意知(3a＋5b)·(m a－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，所以3m×32＋(5m－3)×3×2cos 60°－5×22＝0，解得m＝.
4．若两个向量a与b的夹角为，且a是单位向量，|b|＝2，c＝2a＋b，则向量c与b的夹角为________．
解析：由题知a·b＝1×2×cos ＝1，
所以c·b＝(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝6，
|c|＝|2a＋b|＝＝＝2.
设向量c与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
5．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－2b|＝2|a＋b|，则a与b的夹角θ＝____________；a在 a＋b上的投影的数量为________．
解析：因为|a－2b|＝2|a＋b|，所以a2－4a·b＋4b2＝4a2＋8a·b＋4b2.因为|a|＝2，|b|＝1，所以4＋4＝16＋4＋12a·b，解得a·b＝－1，所以cos θ＝＝－，因为θ∈[0，π]，所以θ＝.又因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4－2＋1＝3，所以|a＋b|＝，所以a在a＋b上的投影的数量为＝＝＝.
答案：
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：向量数量积的运算律、求向量的模和夹角、向量垂直及向量在几何中的应用．
2．须贯通：求向量的数量积要灵活应用其运算律；求向量的模时，则要灵活应用模的计算公式；用向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．向量解决夹角与垂直问题，常利用数形结合的方法．
3．应注意：(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．