8．1.3 向量数量积的坐标运算（教师版）
文档属性
| 名称 | 8．1.3 向量数量积的坐标运算（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 319.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
8．1.3 向量数量积的坐标运算
1.理解向量数量积坐标表示的推导过程． 2.掌握向量数量积的坐标表示及运算．
3．能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．
思考 如何用a，b的坐标表示a·b
提示：a·b＝x1x2＋y1y2.
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝____________
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
[答案自填] x1x2＋y1y2
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
(2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
【解析】 (1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.
【答案】 (1)B (2)C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
向量数量积运算的途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件进行计算．
[跟踪训练1] (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12) B．0
C．－3 D．－11
解析：选C.依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选A.由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得·＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝________
表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝________________
[答案自填]
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知，均为单位向量，且＋2＝(1，1)，则||＝( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)由题知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，所以a－2b＝(－3，－4)，
所以|a－2b|＝＝5.故选D.
(2)因为＋2＝(1，1)，所以(＋2)2＝2，
所以2＋42＋4·＝2.
因为向量，均为单位向量，
所以1＋4＋4·＝2，所以·＝－，
所以||＝|－|＝＝＝.
【答案】 (1)D (2)C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[跟踪训练2] (1)已知A，B，C是平面直角坐标系上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选C.||＝＝，||＝＝.又||＝＝，所以||＝||，且||2＋||2＝||2，因此△ABC为等腰直角三角形．
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________．
解析：因为a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，且y＝1.所以a＝(2，1)，则a－2b＝(4，－3)，故|a－2b|＝＝5．
答案：5
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)cos 〈a，b〉＝＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)) .
(2)a⊥b ________________________．
[答案自填] x1x2＋y1y2＝0
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为，则实数k＝________．
【解析】 cos ＝＝，即＝，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－或k＝3.
【答案】 －或3
【变式探究】
(综合变式)将本例的“夹角为”改为“夹角为锐角”，求实数k的取值范围．
解：当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不同向．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，由a，b不同向得k≠，所以实数k的取值范围是(－2，)∪(，＋∞).
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为________，||＝________．
【解析】 设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2).因为点D在直线BC上，即BD与BC共线，所以存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，所以所以x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又因为AD⊥BC，所以·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，所以－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②
由①②可得
即点D的坐标为(1，1)，＝(－1，2)，
所以||＝＝.
综上，D(1，1)，||＝.
【答案】 (1，1)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y)) 直接求出cos θ 的值．
(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.
[跟踪训练3] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解析：选C.由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C.
(2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．
解析：由题意得2a－b＝(－2－m，1)，因为a⊥(2a－b)，
所以a·(2a－b)＝(－1)×(－2－m)＋1×1＝0，
解得m＝－3，则b＝(－3，1).设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
答案：
四 向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例5)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值．
【解】 (1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，则＝(1，1)，＝(－3，3)，所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD.
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝，设点C的坐标为(x，y)，
则由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得
所以点C的坐标为(0，5)，从而＝(－2，4)，＝(－4，2)，且||＝2，||＝2.·＝8＋8＝16，则cos 〈，〉＝＝＝，所以矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
用向量方法解决平面几何问题的步骤
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX22.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RABX22.TIF" \* MERGEFORMATINET
[跟踪训练4] 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\BQB23.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BQB23.TIF" \* MERGEFORMATINET
设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
(1)＝(－1，2)，＝(－2，－1).
所以·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(2，1)，
因为∥，
所以x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥得y＝－2x＋4，
由得
所以点P的坐标为.
所以||＝＝2＝||，
即AP＝AB.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B.a·(a＋b)＝(1，－1)·(3，3)＝3－3＝0.
2．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b＝( )
A．23 B．57
C．63 D．83
解析：选D.3|a|2－4a·b＝3×[(－4)2＋32]－4×(－4×5＋3×6)＝83.故选D.
3．(教材P89练习AT1改编)已知向量a＝(，1)，b＝(－，1)，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.cos 〈a，b〉＝＝＝－，
因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.故选C.
4．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y).若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则||＝________．
解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y).因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4.则M(4，－4)，N(－4，4)，所以向量＝(－8，8)，||＝8.
答案：8
5．已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，若(2a－b)⊥a，则m＝________．
解析：已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，所以2a－b＝(－3，6－m).由(2a－b)⊥a，得(2a－b)·a＝(－3，6－m)·(－1，3)＝21－3m＝0，所以m＝7.
答案：7
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角(垂直)问题．
2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、夹角及模长等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法．
3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式；
(2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况．
1.理解向量数量积坐标表示的推导过程． 2.掌握向量数量积的坐标表示及运算．
3．能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
通过前面的学习，我们知道，已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，我们可以求出a＋b，a－b以及λa(λ≠0)的坐标．
思考 如何用a，b的坐标表示a·b
提示：a·b＝x1x2＋y1y2.
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝____________
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
[答案自填] x1x2＋y1y2
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A．10 B．－10
C．3 D．－3
(2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
【解析】 (1)a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.
【答案】 (1)B (2)C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
向量数量积运算的途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件进行计算．
[跟踪训练1] (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12) B．0
C．－3 D．－11
解析：选C.依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2，1)，则·＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选A.由＝＋＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，得·＝(2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝________
表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝________________
[答案自填]
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)已知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，则|a－2b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)已知，均为单位向量，且＋2＝(1，1)，则||＝( )
A． B．
C． D．
【解析】 (1)由题知向量a＝(1，0)，b＝(2，2)，所以a－2b＝(－3，－4)，
所以|a－2b|＝＝5.故选D.
(2)因为＋2＝(1，1)，所以(＋2)2＝2，
所以2＋42＋4·＝2.
因为向量，均为单位向量，
所以1＋4＋4·＝2，所以·＝－，
所以||＝|－|＝＝＝.
【答案】 (1)D (2)C
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算：利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.
[跟踪训练2] (1)已知A，B，C是平面直角坐标系上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析：选C.||＝＝，||＝＝.又||＝＝，所以||＝||，且||2＋||2＝||2，因此△ABC为等腰直角三角形．
(2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1，2)，且a＋b＝(1，3)，则|a－2b|＝________．
解析：因为a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1，3)，则x＝2，且y＝1.所以a＝(2，1)，则a－2b＝(4，－3)，故|a－2b|＝＝5．
答案：5
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)cos 〈a，b〉＝＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)·\r(x＋y)) .
(2)a⊥b ________________________．
[答案自填] x1x2＋y1y2＝0
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知向量a＝(2，1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为，则实数k＝________．
【解析】 cos ＝＝，即＝，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－或k＝3.
【答案】 －或3
【变式探究】
(综合变式)将本例的“夹角为”改为“夹角为锐角”，求实数k的取值范围．
解：当a与b共线时，2k－1＝0，k＝，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0且a，b不同向．由a·b＝2＋k＞0得k＞－2，由a，b不同向得k≠，所以实数k的取值范围是(－2，)∪(，＋∞).
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，则点D的坐标为________，||＝________．
【解析】 设点D的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2).因为点D在直线BC上，即BD与BC共线，所以存在实数λ，使＝λ，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，所以所以x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又因为AD⊥BC，所以·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，所以－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0.②
由①②可得
即点D的坐标为(1，1)，＝(－1，2)，
所以||＝＝.
综上，D(1，1)，||＝.
【答案】 (1，1)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝ eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y)) 直接求出cos θ 的值．
(4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ.
[跟踪训练3] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解析：选C.由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C.
(2)已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，1)，若a⊥(2a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．
解析：由题意得2a－b＝(－2－m，1)，因为a⊥(2a－b)，
所以a·(2a－b)＝(－1)×(－2－m)＋1×1＝0，
解得m＝－3，则b＝(－3，1).设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
答案：
四 向量数量积的坐标运算在平面几何中的应用
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例5)已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4).
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值．
【解】 (1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，则＝(1，1)，＝(－3，3)，所以·＝1×(－3)＋1×3＝0，所以⊥，即AB⊥AD.
(2)因为⊥，四边形ABCD为矩形，
所以＝，设点C的坐标为(x，y)，
则由＝(1，1)，＝(x＋1，y－4)，
得解得
所以点C的坐标为(0，5)，从而＝(－2，4)，＝(－4，2)，且||＝2，||＝2.·＝8＋8＝16，则cos 〈，〉＝＝＝，所以矩形ABCD的两条对角线所夹锐角的余弦值为.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
用向量方法解决平面几何问题的步骤
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\RABX22.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RABX22.TIF" \* MERGEFORMATINET
[跟踪训练4] 已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明：建立如图所示的平面直角坐标系，
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\BQB23.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BQB23.TIF" \* MERGEFORMATINET
设AB＝2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1).
(1)＝(－1，2)，＝(－2，－1).
所以·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(2，1)，
因为∥，
所以x＝2(y－1)，即x＝2y－2，
同理，由∥得y＝－2x＋4，
由得
所以点P的坐标为.
所以||＝＝2＝||，
即AP＝AB.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，4)，则a·(a＋b)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B.a·(a＋b)＝(1，－1)·(3，3)＝3－3＝0.
2．已知向量a＝(－4，3)，b＝(5，6)，则3|a|2－4a·b＝( )
A．23 B．57
C．63 D．83
解析：选D.3|a|2－4a·b＝3×[(－4)2＋32]－4×(－4×5＋3×6)＝83.故选D.
3．(教材P89练习AT1改编)已知向量a＝(，1)，b＝(－，1)，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.cos 〈a，b〉＝＝＝－，
因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.故选C.
4．已知a＝(2，－1)，b＝(x，－2)，c＝(3，y).若a∥b，(a＋b)⊥(b－c)，M(x，y)，N(y，x)，则||＝________．
解析：因为a∥b，所以x＝4，所以b＝(4，－2)，所以a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y).因为(a＋b)⊥(b－c)，所以(a＋b)·(b－c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，所以y＝－4.则M(4，－4)，N(－4，4)，所以向量＝(－8，8)，||＝8.
答案：8
5．已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，若(2a－b)⊥a，则m＝________．
解析：已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，m)，所以2a－b＝(－3，6－m).由(2a－b)⊥a，得(2a－b)·a＝(－3，6－m)·(－1，3)＝21－3m＝0，所以m＝7.
答案：7
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学面向量数量积的坐标表示、平面向量的模与夹角(垂直)问题．
2．须贯通：应用平面向量数量积的坐标形式可以解决向量间的垂直、夹角及模长等几何问题，体现了转化与化归、数形结合的思想方法．
3．应注意：(1)易混淆平面向量平行与垂直的坐标形式；
(2)在求平面向量的夹角时，不能忽略向量共线的特殊情况．