8．2.1　课后达标 检测（教师版）

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1．sin 75°＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.sin 75°＝cos 15°＝cos (60°－45°)
＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°
＝×＋×＝.故选D.
2．计算：cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝(　　)
A. B．
C． D．cos 57°
解析：选C.cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°＝cos (43°－13°)＝cos 30°＝.故选C.
3．已知α∈(0，π)，cos (α＋)＋cos (α－)＝－，则sin α的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.因为α∈(0，π)，cos (α＋)＋cos (α－)＝－，所以cos αcos －sin αsin ＋cos αcos ＋sin αsin ＝－，即cos α＝－，所以cos α＝－＜0，所以α∈(，π)，所以sin α＝＝.
4．化简cos(α－β)cos β＋sin (α－β)sin β＝(　　)
A．cos β B．cos α
C．cos (2α－β) D．cos (α－2β)
解析：选D.cos (α－β)cos β＋sin (α－β)sin β＝cos [(α－β)－β]＝cos (α－2β).故选D.
5．已知sin α＝cos (－α)，则tan α＝(　　)
A． B．－
C．－ D．
解析：选A.由sin α＝cos (－α)＝cos α＋sin α，即sin α＝cos α，可得tan α＝.故选A.
6．(多选)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　)
A．α＝，β＝ B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析：选BD.因为cos αcos β＝－sin αsin β，所以cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝.
当α＝，β＝时，可得α－β＝，cos (α－β)＝，所以A不符合题意；
当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以B符合题意；
当α＝，β＝时，可得α－β＝， cos (α－β)＝，所以C不符合题意；
当α＝，β＝时，可得α－β＝－，cos (α－β)＝，所以D符合题意．故选BD.
7．已知cos (－α)＝，则cos α＋sin α的值为________．
解析：因为cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝.
答案：
8．已知A，B均为钝角且sin A＝，sin B＝，则A＋B的大小为____________．
解析：因为A，B均为钝角且sin A＝，sin B＝，
所以cos A＝－，cos B＝－.
所以cos (A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝－×(－)－×＝.
因为所以π答案：
9．已知α为锐角，cos (α＋)＝，则cos α＝________．
解析：由题意知，0＜α＜，所以＜α＋＜，
所以sin (α＋)＞0，又因为cos (α＋)＝，
所以sin (α＋)＝＝＝，
所以cos α＝cos [(α＋)－]
＝cos (α＋)cos ＋sin (α＋)sin
＝×＋×＝.
答案：
10．化简下列三角函数的值：
(1)cos (＋θ)cos θ＋sin (＋θ)sin θ；
(2)cos ＋sin ；
解：(1)cos (＋θ)cos θ＋sin (＋θ)sin θ＝cos [(＋θ)－θ]＝cos ＝.
(2)cos ＋sin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos (－)＝cos ＝.
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11．已知锐角α，β满足α－β＝，则＋的最小值为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选C.因为锐角α，β满足α－β＝，
所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，令x＝cos αcos β，y＝sin αsin β，则x＋y＝，由题意得x>0，y>0，
则 ＋
＝＋＝2(x＋y)(＋)
＝2×(2＋＋)≥2×(2＋2)＝8，
当且仅当＝，即x＝y＝时取等号，此时＋ 取最小值，最小值为8.
12．(多选)已知α，β，γ∈(0，)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列结论中正确的是(　　)
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝－
C．β－α＝ D．β－α＝－
解析：选AC.由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，
两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，所以－2cos (β－α)＝－1，
所以cos (β－α)＝，所以A正确，B错误；
因为α，β，γ∈(0，)，sin γ＝sin β－sin α>0，
所以β>α，所以β－α＝，
所以C正确，D错误．故选AC.
13．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a⊥b，则α－β＝________．
解析：因为a⊥b，所以a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)＝0.因为α，β∈(0，π)，所以－π<α－β<π，所以α－β＝－或α－β＝.
答案：±
14．已知sin α＝，sin (α＋β)＝，0＜β＜＜α＜π.求：
(1)cos (α－)；
(2)cos (β＋).
解：(1)因为＜α＜π，
则cos α＝－＝－，
所以cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin
＝－×＋×＝.
(2)由(1)可得，＜α－＜，所以sin (α－)＝ ＝，
因为0＜β＜＜α＜π，则α＋β∈(，)，
可得cos(α＋β)＝－＝－，所以cos(β＋)＝cos [(α＋β)－(α－)]＝cos (α＋β)cos (α－)＋sin (α＋β)sin (α－)＝－×＋×＝.
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15．在△ABC中，已知lg cos B＋lg cos C＋lg 2＝lg (1－cos A)，那么△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形　　　　　 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
解析：选D.由题设lg (2cos B cos C)＝lg (1－cos A)，
即2cos B cos C＝1－cos A>0，
又B，C为三角形的内角，所以B，C∈(0，)，
又cos A＝cos [π－(B＋C)]＝－cos (B＋C)
＝sin B sin C－cos B cos C，
所以2cos B cos C＝1＋cos B cos C－sin B sin C，
故cos B cos C＋sin B sin C＝cos (B－C)＝1，
综上，B－C＝0，即B＝C，故选D.
16．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)是否存在锐角α，β，使f(α)＝－，sin (α－β)＝同时成立？如果存在，求出β；如果不存在，说明理由．
解：(1)f(α)＝＝＝＝－sin α.
(2)存在锐角α，β使f(α)＝－，sin (α－β)＝同时成立，且β＝.证明如下：
结合(1)得－sin α＝－，
所以sin α＝，
因为α，β均为锐角，所以cos α＝＝，又α，β∈(0，)，所以－＜α－β＜，
由sin(α－β)＝，得0＜α－β＜，
所以cos (α－β)＝＝，
所以cosβ＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝，
又β为锐角，故β＝.