8．2.1　两角和与差的余弦（教师版）

8．2　三角恒等变换
8．2.1　两角和与差的余弦
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用．　2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．　3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．
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同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式．
思考　cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°－cos 30°成立吗？
提示：cos 15°>0，cos 45°－cos 30°＝－<0，则cos 15°≠cos 45°－cos 30°.
名称 公式 简记符号 使用条件
两角差的余弦 cos (α－β)＝______________________ Cα－β α，β∈R
两角和的余弦 cos (α＋β)＝______________________ Cα＋β α，β∈R
[答案自填] cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例2、例4)求下列各式的值：
(1)cos ；
(2)sin 460°sin (－160°)＋cos 560°cos (－280°).
【解】　(1)cos ＝cos ＝－cos
＝－cos ＝－cos
＝－
＝－(×＋×)＝－.
(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60°＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
两角和与差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角的和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和与差，然后利用两角和与差的余弦公式求解．　
[跟踪训练1] (1)cos (－105°)的值是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C. cos (－105°)＝cos 105°＝cos (45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝×－×＝.故选C.
(2)cos 15°＋sin 15°的值为(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选A.cos 15°＋sin 15°＝cos 60°cos 15°＋sin 60°·sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝.故选A.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例3)(1)已知cos α＝，α是第四象限角，sin β＝，β是第二象限角，求cos (α＋β)的值．
(2)已知α，β∈，且sin α＝，cos (α＋β)＝－，求cos β的值．
【解】　(1)因为cos α＝，α是第四象限角，
所以sin α＝－＝－＝－.
因为sinβ＝，β是第二象限角，
所以cos β＝－＝－＝－.
则cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－(－)×＝.
(2)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π.
由cos (α＋β)＝－，得sin (α＋β)＝，
又sin α＝，所以cos α＝，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角变换．　
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β).　
[跟踪训练2] (1)若0<α<，－<β<0，cos (＋α)＝，cos (－)＝，则cos (α＋)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选C.由题意，可得<＋α<，<－<，因为cos (＋α)＝，cos (－)＝，所以sin (＋α)＝，sin (－)＝，
则cos (α＋) ＝cos
＝cos (＋α)cos (－)＋sin (＋α)sin (－)＝×＋×＝.故选C.
(2)已知cos α＝，cos (α－β)＝－，＜α＜2π，＜α－β＜π，则cos β＝________．
解析：由已知得，sin α＝－，sin (α－β)＝，所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×(－)＋(－)×＝－.
答案：－
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知cos (α＋β)＝－，tan (π＋α)＝3，其中α，β为锐角．求：
(1)sin α的值；
(2)β的值．
【解】　(1)因为α，β为锐角，tan (π＋α)＝tan α＝3，
则?＝3，
sin2α＋cos2α＝1，?解得
(2)因为0＜α＜，0＜β＜，所以0＜α＋β＜π，由cos (α＋β)＝－可得sin (α＋β)＝＝，
所以cos β＝cos [(α＋β)－α]
＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝，
因为β∈(0，)，所以β＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)根据条件确定所求角的范围；
(2)求出所求角的某个三角函数值，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数；
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
[注意]　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．　
[跟踪训练3] 已知cos α＝，cos (α－β)＝，且0<β<α<，则β＝____________．
解析：由cos α＝，0<α<，
得sin α＝＝　＝.
由0<β<α<，得0<α－β<.
又因为cos(α－β)＝，
所以sin (α－β)＝＝　＝.
由β＝α－(α－β)，
得cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)
＝×＋×＝，
所以β＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P93T1改编)cos 的值是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.cos ＝cos (－)
＝cos cos ＋sin sin
＝×＋×＝.故选C.
2．(多选)(教材P94练习AT4改编)若sin α＝，则cos (－α)的值可能为(　　)
A.－ B．－
C． D．－
解析：选BC.因为sin α＝，
所以cos α＝±，当cos α＝时，
cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α
＝×＋×＝，
当cos α＝－时，
cos (－α)＝cos cos α＋sin sin α
＝×(－)＋×＝－.故选BC.
3．(多选)若cos x－sin x＝cos (x－φ)，则φ可能的值是(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选AC.对比公式特征知，cos ＝cos (x－φ)，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，故φ＝－，都可能．
4．如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点P(，y1)，M(－，y2).求：
INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\25RJ5-4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\25RJ5-4.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)sin α，sin β的值；
(2)cos ∠POM的值．
解：(1)根据题意可知，sin α＝y1＞0，cos α＝，则sin α＝＝，同理sinβ＝y2＞0，cos β＝－，则sin β＝＝.
(2)易知∠POM＝β－α，所以cos ∠POM＝cos (β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝－.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：两角和与差的余弦公式的推导；给值求值、给值求角．
2．须贯通：两角和与差的余弦公式既可正用，也可逆用，结合题设条件，将未知的角分解为已知角的和或差，再利用公式求解．　
3．应注意：(1)两角和与差的余弦公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围．