8.2.2 第1课时　两角和与差的正弦（教师版）

8．2.2　两角和与差的正弦、正切
第1课时　两角和与差的正弦
1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程．　2.能够运用两角和与差的正弦公式解决求值、化简等问题．
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同学们，大家知道川剧中的“变脸”表演吗？其神奇的表演让观众叹为观止，在三角函数中也有这样的“表演者”，上一节我们学习的两角和与差的余弦公式就是这样的“表演者”之一，今天我们就利用两角和与差的余弦公式的“变脸”，对公式进一步拓展．
思考　你能把两角和的正弦用两角差的余弦公式和诱导公式表示出来吗？
提示：sin (α＋β)＝cos [－(α＋β)]＝cos [(－α)－β].
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的正弦 sin (α＋β)＝____________________ Sα＋β α，β∈R
两角差的正弦 sin (α－β)＝____________________ Sα－β α，β∈R
[答案自填] sin αcos β＋cos αsin β　sin αcos β－cos αsin β
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
(2)的值是(　　)
A． B．
C．1 D．
【解析】　(1)原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°
＝sin 40°cos 70°－cos 40°sin 70°
＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin 30°
＝－.
(2)
＝
＝
＝
＝＝.故选A.
【答案】　(1)B　(2)A
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式．
(3)使用范围：α，β为任意角，可以是一个角，也可以是角的组合．　
[跟踪训练1] (1)sin 465°＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.原式＝sin (360°＋105°)＝sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°
＝×(＋)＝.故选B.
(2)cos (＋θ)sin (－θ)＋cos (－θ)sin (＋θ)的值为(　　)
A． B．1
C．0 D．
解析：选B.原式＝sin (＋θ＋－θ)＝sin ＝1.
故选B.
a sin x＋b cos x
＝(sin x＋cos x)
＝sin (x＋φ).
其中cos φ＝__________________，sin φ＝______________________．
[答案自填] 　
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(对接教材例4)设函数f(x)＝sin x＋sin .
(1)求函数f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)求函数f(x)的单调区间．
【解】　(1)f(x)＝sin x＋sin x cos ＋cos x sin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝＝sin ，
当sin ＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝＋2kπ(k∈Z).所以函数f(x)的最小值为－，取最小值时x的集合为
.
(2)当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递增；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
辅助角公式及其应用
(1)公式：a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝cos (α－φ))，将形如a sin α＋b cos α(a，b不同时为零)的三角函数式化简为同一个角的一种三角函数式．
(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要根据具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质．　
[跟踪训练2] (1)(多选)cos α－sin α化简的结果可以是(　　)
A．2cos B．2cos
C．2sin D．2sin
解析：选AC.cos α－sin α
＝2(cos α－sin α)
＝2＝2sin .
cos α－sin α＝2(cos α－sin α)
＝2＝2cos .
(2)函数y＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别为(　　)
A．π，2 B．π，
C．2π，2 D．2π，
解析：选A.y＝sin 2x＋cos 2x＋cos 2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2(cos 2x＋sin 2x)＝2sin ，所以最小正周期T＝＝π，y最大值＝2.
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)已知0＜α＜＜β＜π，cos β＝－，sin (α＋β)＝，则tan α＝________．
(2)已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α－β＝________．
【解析】　(1)由题意，sin β＝＝，
且＜α＋β＜，故cos(α＋β)＝－＝－.
故sinα＝sin [(α＋β)－β]
＝sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β
＝×(－)－(－)×＝.
故cos α＝＝，tan α＝＝.
(2)因为α，β均为锐角，且sin α＝，cos β＝，
所以cos α＝，sin β＝，
所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，
又因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<，所以α－β＝－.
【答案】　(1)　(2)－
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)解决给值求值问题的思路
观察公式中的量，确定哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值，注意根据角的终边所在的象限确定符号．
(2)解决给值(式)求角问题的方法
解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值；当所求角范围或时，选取求正弦值．　
[跟踪训练3] (1)已知0<β<<α<，且sin ＝，sin ＝，则sin (α＋β)＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：选C.因为<α<，
所以0<α－<，
因为sin ＝，
所以cos ＝.
因为0<β<，所以<β＋<，
因为sin ＝，所以cos ＝.
所以sin (α＋β)＝sin [＋]
＝sin cos ＋cos sin
＝×＋×＝.
(2)已知cos α＝，sin (α＋β)＝，0<α<，0<β<，则角β＝__________．
解析：因为0<α<，cos α＝，所以sin α＝.
又因为0<β<，所以0<α＋β<π.
因为sin (α＋β)＝所以cos (α＋β)＝－，
所以sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.
又因为0<β<，所以β＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(教材P99练习BT1(3)改编)sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B.因为sin 50°cos 10°＋sin 40°·sin 10°＝sin 50°·cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin (50°＋10°)＝sin 60°＝.故选B.
2．化简＝____________．
解析：原式＝
＝
＝tan 45°＝1.
答案：1
3．在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q 两点，P，Q的纵坐标分别为，，则α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标为__________．
解析： 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于P, Q 两点，因为P，Q 的纵坐标分别为，，所以sin α＝，sin β＝，可得cos α＝，cos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝1，
所以α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标为1.
答案：1
4．已知α∈(0，π)，β∈(0，π)，sin (α－β)＝，＝－5，求α＋β的值．
解：由sin (α－β)＝，得sin αcos β－cos αsin β＝，由＝－5，得sin αcos β＝－5cos αsin β，
于是sin αcos β＝，cos αsin β＝－，
而α∈(0，π)，β∈(0，π)，
显然sin α＞0，sin β＞0，
则cos α＜0，cos β＞0，
即α∈(，π)，β∈(0，)，
于是α＋β∈(，)，
又sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋(－)＝，
所以α＋β＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：两角和与差的正弦公式的正用、逆用、变形用；给值求值、给值求角．
2．须贯通：利用两角和与差的正弦公式求值(化简)时，关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异，弄清已知角与所求角之间的关系，恰当的运用拆角、拼角技巧，化异角为同角．
3．应注意：(1)两角和与差的正弦公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围．