8.2.2 第2课时　课后达标 检测（教师版）

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1.的值为(　　)
A． B．1
C． D．2
解析：选B.＝×＝×＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝1.故选B.
2．若cos (－α)＝，且α∈(，π)，则tan (α＋)＝(　　)
A．－ B．
C． D．7
解析：选C.依题意 α∈(，π)，cos (－α)＝sin α＝，所以cos α＝－＝－，所以tanα＝－，所以tan (α＋)＝＝.故选C.
3．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°的值为(　　)
A．－ B．
C．1 D．－1
解析：选B.因为tan (20°＋40°)＝ ＝tan 60°＝，所以tan 20°＋tan 40°＝(1－tan 20°tan 40°)，所以tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .故选B.
4．已知tan α＝2，tan (α＋β)＝－1，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：选D.由题tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝3，所以＝＝＝＝.故选D.
5．(多选)下列化简结果正确的是(　　)
A．＝－
B．＝
C．cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝－
D．sin ＋cos ＝
解析：选BD. 对于A，原式＝
＝tan ＝tan ＝，故A错误；
对于B，＝tan (24°＋36°)
＝tan 60°＝，故B正确；
对于C，cos 22°sin 52°－sin 22°cos 52°＝sin (52°－22°)＝sin 30°＝，故C错误；
对于D，sin ＋cos ＝(sin ＋cos )＝sin ＝sin ＝，故D正确．故选BD.
6．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则下列各式中正确的是(　　)
A．A＋B＝2C B．tan (A＋B)＝－
C．tan A＝tan B D．cos B＝sin A
解析：选CD.因为C＝120°，所以A＋B＝60°，所以A＋B＝，且tan (A＋B)＝，故选项A，B错误；因为tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝，
所以tan A tan B＝，①
又tan A＋tan B＝，②
所以联立①②解得tan A＝tan B＝，
又因为A，B为△ABC内角，所以A＝B＝30°，
所以cos B＝sin A，故选项C，D正确．
7．已知在△ABC中，tan A tan B－tan A－tan B＝，则C的大小为________．
解析：依题意有＝－，
即tan (A＋B)＝－.
又因为0所以A＋B＝，
所以C＝π－A－B＝.
答案：
8．已知tan α＋tan β＝3，sin (α＋β)＝3sin (α－β)，则tan (α－β)＝______________．
解析：因为sin (α＋β)＝3sin (α－β)，所以sin αcos β＋cos αsin β＝3(sin αcos β－cos αsin β)，
则sin αcos β＝2cos αsin β，即tan α＝2tan β，又tan α＋tan β＝3，联立得tan α＝2，tan β＝1，
故tan (α－β)＝＝.
答案：
9．已知0＜α＜，sin α＝，tan (α－β)＝－，则tan β＝__________，＝________．
解析：因为0＜α＜，sin α＝，所以cos α＝＝＝，所以tanα＝＝，又因为tan (α－β)＝－，
所以tan β＝tan [α－(α－β)]＝
＝＝＝3，
所以＝＝＝＝.
答案：3　
10．计算：(1)tan 50°－tan 20°－tan 50°tan 20°；
(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°).
解：(1)tan 50°－tan 20°－tan 50°tan 20°
＝tan (50°－20°)(1＋tan 50°tan 20°)－tan 50°tan 20°
＝tan 30°(1＋tan 50°tan 20°)－tan 50°tan 20°
＝＋tan 50°tan 20°－tan 50°tan 20°＝.
(2)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋tan (21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°tan 24°)tan 45°＋tan 21° tan 24°＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2.
同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2.所以原式＝2×2＝4.
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11．若tan 2α＝3tan (α－β)，则tan (α＋β)的最大值为(　　)
A． B．1
C．2－ D．
解析：选D.因为α＋β＝2α－(α－β)，
所以tan (α＋β)＝tan [2α－(α－β)]
＝＝，
设tan(α－β)＝t，则＝＝≤＝，当且仅当＝3t(t>0)，即t＝时，等号成立．故选D.
12．(多选)已知α∈(，π)，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，若sin(α＋)＝－，则下列点在角α的终边上的是(　　)
A．(－3，4) B．(－4，3)
C．(－6，8) D．(－8，6)
解析：选BD.因为α∈(，π)，
所以α＋∈(，)，则cos (α＋)＝－，即tan (α＋)＝，所以tan α＝tan [(α＋)－]＝＝－，选项A，C中，tan α＝－；选项B，D中，tan α＝－，故选BD.
13．若α，β∈(－，)，且tan α，tan β是方程x2＋4x＋5＝0的两个根，则α＋β＝________．
解析：由题可得tan α＋tan β＝－4，tan αtan β＝5，
所以tan (α＋β)＝＝＝，
因为α，β∈(－，)，且tan α＜0，tan β＜0，
所以α，β∈(－，0)，则α＋β∈(－π，0)，
所以α＋β＝－.
答案：－
14．已知＝－8，α∈(0，).
(1)求tan α的值；
(2)若β∈(0，)，且cos (＋β)＝，求α＋β的值．
解：(1)由题意得，＝＝－8，解得tan α＝.
(2)因为β∈(0，)，所以<＋β<，
且cos (＋β)＝，所以sin (＋β)＝，
所以cos β＝cos ＝×＋×＝，
所以sin β＝，则tan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝＝1，
又因为α＋β∈(0，)，所以α＋β＝.
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15．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)
A．1 B．
C．1或 D．1或10
解析：选C.因为α＋β＝，
所以tan (α＋β)＝＝1，
所以tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)·lg ，
所以1＝1－lg (10a)·lg ，
所以lg (10a)·lg ＝0，
所以lg (10a)＝0或lg ＝0，
所以a＝或a＝1.
16．已知函数f(x)＝.
(1)若f(φ)＝3，求tan φ的值；
(2)若f(α－β)＝－，f(α)＝－，且α∈(0，π)，β∈(，π)，求2α－β的值．
解：由已知f(x)＝，
即f(x)＝.
(1)因为f(φ)＝3，即＝3，
解得tan φ＝5.
(2)依题意，由f(α－β)＝－，f(α)＝－
得＝－，＝－，
解得tan (α－β)＝，tan α＝，
所以tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]
＝＝＝1.
因为α∈(0，π)，tan α＝，
所以α∈(0 ，)，又β∈(，π)，
所以2α－β∈(－π，－)，
所以2α－β＝－.