8.2.2 第2课时　两角和与差的正切（教师版）

第2课时　两角和与差的正切
1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．　2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．　3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
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我们知道，在测量不可达建筑物的高度时，一般要用到三角函数的方法．例如要测量中央电视塔的高度，就要在地面上选一条基线，以基线为边构造出直角三角形，利用正切函数以及两角和与差的正切值计算而得．那么两角和与差的正切公式是怎样的呢？
思考1　同学们还记得两角和与差的正弦公式、余弦公式吗？
提示：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
思考2　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？
提示：tan (α＋β)＝
＝.
用－β来代替tan (α＋β)中的β即可得到tan (α－β).
1．两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和的正切 tan (α＋β)＝____________ Tα＋β α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠1
两角差的正切 tan (α－β)＝____________ Tα－β α，β，α－β≠kπ＋，k∈Z，且tan α·tan β≠－1
2.两角和与差的正切公式的变形
(1)tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β).
(2)tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β).
(3)tan αtan β＝1－＝－1.
[答案自填] 　
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(1)(对接教材例5)tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
(2)＝________．
【解析】　(1)tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°
＝tan (45°＋30°)＝
＝＝2＋.
(2)＝tan (12°＋33°)＝tan 45°＝1.
【答案】　(1)D　 (2)1
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
利用公式Tα±β化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．　
[跟踪训练1] 化简求值：
(1)；
(2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
解：(1)＝
＝tan (60°－15°)＝tan 45°＝1.
(2)因为tan 60°＝＝，
所以tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°，
所以tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知tan (α＋β)＝2，tan (α－β)＝4，则tan 2α ＝________．
【解析】　tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝－.
【答案】　－
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知α，β均为锐角，且tan α＝2，tan β＝3，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
【解析】　由tan α＝2，tan β＝3得tan (α＋β)＝＝＝－1，由于α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，故α＋β＝.故选C.
【答案】　C
【变式探究】
(综合变式)已知tan α，tan β是方程6x2－mx＋1＝0的两实根，若α＋β＝，则m＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.由题意得
因为α＋β＝，
所以tan (α＋β)＝＝tan ＝1，
即＝1，解得m＝5.故选D.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　
[跟踪训练2] (1)如图，有三个相同的正方形相接，若∠ABC＝α，∠ACD＝β，则α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.设正方形的边长为1，由题图可得tan α＝，tan β＝，则tan (α＋β)＝＝1，又0＜α＋β＜π，所以α＋β＝.故选B.
(2)若＝3，tan (α＋β)＝2，则tan (2α＋β) ＝________．
解析：＝＝3，
即tan α＝2，故tan (2α＋β)＝tan [(α＋β)＋α]＝＝＝－.
答案：－
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　已知A，B，C是△ABC的三个内角，向量m＝(－1，)，n＝(cos A，sin A)，且m·n＝1.
(1)求角A；
(2)若tan ＝－3，求tan C.
【解】　(1)因为m·n＝1，
所以(－1，)·(cos A，sin A)＝1，
即sin A－cos A＝1，
所以2sin ＝1，所以sin ＝.
因为0所以A－＝，所以A＝.
(2)由tan ＝＝－3，
解得tan B＝2.
又因为A＝，所以tan A＝.
所以tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)
＝－＝－＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
两角和与差公式的综合应用是解决三角恒等变换问题的主要方法，合理选择和与差的正弦公式、余弦公式、正切公式是解题的关键．两角和与差的公式常与其他知识结合考查，如方程、诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角函数的图象、向量、三角形等，要引起重视．　
[跟踪训练3] 设向量a＝(cos α，λsin α)，b＝(cos β，sin β)，其中λ>0，0<α<β<，且|a|＝|b|.
(1)求实数λ的值；
(2)若a·b＝，且tan β＝2，求tan α的值．
解：(1)由|a|＝|b|知a2－b2＝0，
所以cos2α＋λ2sin2α－1＝0.
又因为sin2α＋cos2α＝1，所以(λ2－1)sin2α＝0.
因为0<α<，所以sin2α≠0，所以λ2－1＝0.
又因为λ>0，所以λ＝1.
(2)由(1)知a＝(cosα，sin α).
由a·b＝，得cos αcos β＋sin αsin β＝，
即cos (α－β)＝.因为0<α<β<，所以－<α－β<0，所以sin (α－β)＝－＝－，
所以tan(α－β)＝＝－，因此tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(多选)下列等式中叙述正确的是(　　)
A．tan ＝
B．存在α，β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β
C．存在α，β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β
D．对任意α，β，tan (α＋β)＝tan α＋tan β
解析：选ABC.tan ＝，A正确；
存在α＝β＝，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确；
存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确；
对任意α，β(α，β，α＋β≠＋kπ，k∈Z)，tan (α＋β)＝，D不正确．
2．(多选)(教材P99练习BT1改编)计算下列各式，结果为的是(　　)
A．sin 15°＋cos 15°
B．cos215°－sin15°cos 75°
C．
D．
解析：选AD.对于A，sin 15°＋cos 15°＝2sin (15°＋45°)＝2sin 60°＝，故A符合题意；
对于B，cos215°－sin15°cos 75°＝sin 75°cos 15°－sin 15°cos 75°＝sin (75°－15°)＝sin 60°＝，故B不符合题意；
对于C，＝＝，故C不符合题意；
对于D，＝
＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故D符合题意．故选AD.
3．已知tan α＝－2，tan (α－β)＝，则tan β＝______．
解析：tan β＝tan [α－(α－β)]＝＝＝－3.
答案：－3
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan (α＋β)的值；
(2)tan (α＋2β)的值．
解：(1)由条件得cos α＝，cos β＝.
因为α，β为锐角，
所以sin α＝＝，
sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，
tan β＝＝.
所以tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)由(1)知tan (α＋β)＝－3，tan β＝，
所以tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]
＝＝＝－1.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：两角和与差的正切公式的正用、逆用、变形用；给值求值、给值求角．
2．须贯通：利用两角和与差的正切公式求值(化简)时，关键是找出已知式子与待求式子之间的联系及函数名称和结构的差异，弄清已知角与所求角之间的关系，恰当的运用拆角、拼角技巧，化异角为同角．
3．应注意：(1)两角和与差的正切公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围．