8．2.3 倍角公式（教师版）
文档属性
| 名称 | 8．2.3 倍角公式（教师版） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 280.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
8．2.3 倍角公式
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像我们期待自己的成绩加倍提高一样，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系．
思考1 请写出两角和的正弦、余弦、正切公式．
提示：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
tan (α＋β)＝.
思考2 当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？
提示：sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan2α＝tan (α＋α)＝.
1．倍角公式
记法 公式
S2α sin2α＝________________
C2α cos 2α＝________________
T2α tan 2α＝
点拨 二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，用于描述两个数量之间的关系．
2．二倍角公式的变形
(1)逆用
2sinαcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos2α，1－2sin2α＝cos2α.
(2)变形
①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
[答案自填]2sin αcos α cos2α－sin2α
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 求下列各式的值：
(1)cos222.5°－sin222.5°；(2)1－sin215°；
(3)；(4)cos20°cos 40°cos 80°.
【解】 (1)原式＝cos (2×22.5°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝1－＝＋cos 30°＝.
(3)原式＝tan 150°＝－tan 30°＝－.
(4)原式＝
＝＝
＝＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
有关二倍角给角求值问题的策略
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对原式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，可利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
[跟踪训练1] 求下列各式的值：
(1)2cos222.5°－1；
(2)cos4－sin4；
(3)sincos cos cos ；
(4)＋32cos212°.
解：(1)原式＝cos45°＝.
(2)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos2－sin2＝cos＝.
(3)原式＝×2sin cos cos cos
＝sin cos cos
＝×2sin cos cos
＝sin cos ＝×2sin cos
＝sin ＝×＝.
(4)原式＝＋16(2cos212°－1)＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝16.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)若cos (2α－)＝，则sin 4α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝2，则tan 4β＝__________．
【解析】 (1)由cos (2α－)＝可得cos (4α－)＝2cos2(2α－)－1＝－，
故sin4α＝cos (4α－)＝－.故选C.
(2)tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝，
故tan 4β＝＝＝.
【答案】 (1)C (2)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
有关二倍角给值求值问题的策略
(1)解决此类问题有两种方法，一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；二是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin2x＝cos (－2x)＝cos [2(－x)]＝2cos2(－x)－1＝1－2sin2(－x)；
②cos2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cos (－x).
[跟踪训练2] (1)已知cos θ－sin θ＝，则cos 4θ＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A.由题意(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝()2＝，
所以sin 2θ＝，cos 4θ＝1－2sin22θ＝1－2×()2＝－.故选A.
(2)已知角α满足tan(α－)＝，则sin 2α＝__________．
解析：因为tan (α－)＝，
即tan (α－)＝＝，
解得tan α＝2，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝
＝＝＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例2)(1)已知<α<，化简＋－.
(2)求证：＝tan .
【解】 (1)由<α<，
cos α>0，得sin α－cos α>0，sin α＋cos α>0，
所以＋－
＝＋－
＝＋－
＝2cos α＋sin α－cos α－sin α－cos α＝0.
(2)证明：
＝
＝＝tan .
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法
①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
(2)证明三角恒等式的方法
①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
[跟踪训练3] (1)化简：
(α∈(，2π)).
解：因为<α<2π，
所以 ＝|cos α|＝cos α，
又<<π，所以＝＝sin ，
所以原式＝sin .
(2)证明：sin4α＋cos4α＝1－sin22α.
证明：由题意可得，sin4α＋cos4α＝(sin2α)2＋(cos2α)2＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－×(2sinαcos α)2＝1－sin22α.
角度1 在三角函数中的应用
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例3、例4)已知函数f(x)＝2sin2x＋sin2x－.
(1)求f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称中心；
(2)若x∈，求f(x)的值域．
【解】 (1)f(x)＝2×＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝(sin 2x－cos 2x)
＝sin .
所以T＝π.
令2x－＝kπ，k∈Z，
所以x＝＋，k∈Z.
所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin ∈[－1，)，
所以f(x)∈[－，).
所以当x∈时，f(x)的值域为[－，).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
要求函数的性质(周期、最值、对称性、单调性等)，需先把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式，在化简过程中，主要用倍角公式的降幂公式和辅助角公式．
角度2 在平面几何中的应用
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例5)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2＝1＋cos2A.
(1)求角A的大小；
(2)若sin2A＝2sin2B－2sin2C，求cos2C－cos 2B的值．
【解】 (1)由2sin2＝1＋cos2A，
可得cos 2A＋cos (B＋C)＝0，
即cos 2A－cos A＝0，
故2cos2A－cosA－1＝0，
解得cos A＝－或cos A＝1，
又A∈(0，π)，故cos A＝－，A＝.
(2)由(1)可知，A＝，sin A＝，
则sin2A＝2sin2B－2sin2C＝(1－cos2B)－(1－cos 2C)＝cos 2C－cos 2B＝，
所以cos 2C－cos 2B＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
在解决具体问题时，要结合之前所学的所有的公式，灵活运用，融会贯通，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．尤其是在三角形中，最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正．
[跟踪训练4] (1)在锐角三角形ABC中，若sin A cos A＝cos2A－，则A＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B.由题意＝，又2A∈(0，π)，所以cos 2A＝sin 2A>0，所以tan 2A＝1，2A＝，A＝.故选B.
(2)已知函数f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2·sinωx cos ωx(ω>0)，且f(x)的图象中相邻的两个最高点之间的距离为π.
①求f(x)的最大值；
②求f(x)的单调递增区间．
解：①f(x)＝－(cos2ωx－sin2ωx)＋sin2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin .
依题意知T＝π，所以＝π，所以ω＝1.
所以f(x)＝2sin ，
当2x－＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值为2.
②令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．已知cos 2α＝，则sin2α＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D.cos2α＝1－2sin2α＝，所以sin2α＝.故选D.
2．(多选)(教材P102T1改编)下列各式中值为1的是( )
A．sin 75°cos 75°
B．cos215°－sin215°
C．＋2sin215°
D．sin22024＋cos22024
解析：选CD.对于A，sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，不符合题意；对于B，cos215°－sin215°＝cos30°＝，不符合题意；对于C，＋2sin215°＝＋1－cos30°＝＋1－＝1，符合题意；对于D，sin22024＋cos22024＝1，符合题意．故选CD.
3．(教材P103 练习AT4改编)已知α是第二象限角，且sin α＝，则tan 2α＝________．
解析：由sin α＝，α是第二象限角，
可知cos α＝－＝－，
所以tanα＝＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
答案：
4．化简与证明：
(1)化简：；
(2)求证：3＋cos4α－4cos 2α＝8sin4α.
解：(1)原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
(2)证明：左边＝3＋2cos22α－1－4(1－2sin2α)＝3＋2(1－2sin2α)2－5＋8sin2α＝－2＋2(1＋4sin4α－4sin2α)＋8sin2α＝8sin4α＝右边．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明．
2．须贯通：二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α倍角，α是的倍角，在二倍角公式中，要特别关注二倍角的余弦公式及其变形．
3．应注意：化简求值开根号，易忽略角的范围；具体问题中隐含的条件．
1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2.能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题．
INCLUDEPICTURE "新知学习探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新知学习探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "新课导学1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\新课导学1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
唐代诗人王维曾写出“独在异乡为异客，每逢佳节倍思亲”，一个“倍”字道出了思念亲人的急迫心情，这里的“倍”何止二倍、三倍，更是百倍、千倍，就像我们期待自己的成绩加倍提高一样，今天，就让我们共同探究三角函数中的“二倍”关系．
思考1 请写出两角和的正弦、余弦、正切公式．
提示：sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
tan (α＋β)＝.
思考2 当α＝β时，你能写出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？
提示：sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α；
tan2α＝tan (α＋α)＝.
1．倍角公式
记法 公式
S2α sin2α＝________________
C2α cos 2α＝________________
T2α tan 2α＝
点拨 二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，用于描述两个数量之间的关系．
2．二倍角公式的变形
(1)逆用
2sinαcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos2α，1－2sin2α＝cos2α.
(2)变形
①cos2α＝，sin2α＝；
②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.
[答案自填]2sin αcos α cos2α－sin2α
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 求下列各式的值：
(1)cos222.5°－sin222.5°；(2)1－sin215°；
(3)；(4)cos20°cos 40°cos 80°.
【解】 (1)原式＝cos (2×22.5°)＝cos 45°＝.
(2)原式＝1－＝＋cos 30°＝.
(3)原式＝tan 150°＝－tan 30°＝－.
(4)原式＝
＝＝
＝＝＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
有关二倍角给角求值问题的策略
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对原式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，可利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．
[跟踪训练1] 求下列各式的值：
(1)2cos222.5°－1；
(2)cos4－sin4；
(3)sincos cos cos ；
(4)＋32cos212°.
解：(1)原式＝cos45°＝.
(2)原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos2－sin2＝cos＝.
(3)原式＝×2sin cos cos cos
＝sin cos cos
＝×2sin cos cos
＝sin cos ＝×2sin cos
＝sin ＝×＝.
(4)原式＝＋16(2cos212°－1)＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝＋16cos 24°＋16
＝＋16cos 24°＋16＝16.
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (1)若cos (2α－)＝，则sin 4α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知tan (α＋β)＝5，tan (α－β)＝2，则tan 4β＝__________．
【解析】 (1)由cos (2α－)＝可得cos (4α－)＝2cos2(2α－)－1＝－，
故sin4α＝cos (4α－)＝－.故选C.
(2)tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]
＝＝＝，
故tan 4β＝＝＝.
【答案】 (1)C (2)
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
有关二倍角给值求值问题的策略
(1)解决此类问题有两种方法，一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；二是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin2x＝cos (－2x)＝cos [2(－x)]＝2cos2(－x)－1＝1－2sin2(－x)；
②cos2x＝sin (－2x)＝sin [2(－x)]＝2sin (－x)cos (－x).
[跟踪训练2] (1)已知cos θ－sin θ＝，则cos 4θ＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：选A.由题意(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝()2＝，
所以sin 2θ＝，cos 4θ＝1－2sin22θ＝1－2×()2＝－.故选A.
(2)已知角α满足tan(α－)＝，则sin 2α＝__________．
解析：因为tan (α－)＝，
即tan (α－)＝＝，
解得tan α＝2，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝
＝＝＝.
答案：
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例2)(1)已知<α<，化简＋－.
(2)求证：＝tan .
【解】 (1)由<α<，
cos α>0，得sin α－cos α>0，sin α＋cos α>0，
所以＋－
＝＋－
＝＋－
＝2cos α＋sin α－cos α－sin α－cos α＝0.
(2)证明：
＝
＝＝tan .
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法
①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.
(2)证明三角恒等式的方法
①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
[跟踪训练3] (1)化简：
(α∈(，2π)).
解：因为<α<2π，
所以 ＝|cos α|＝cos α，
又<<π，所以＝＝sin ，
所以原式＝sin .
(2)证明：sin4α＋cos4α＝1－sin22α.
证明：由题意可得，sin4α＋cos4α＝(sin2α)2＋(cos2α)2＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－×(2sinαcos α)2＝1－sin22α.
角度1 在三角函数中的应用
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例3、例4)已知函数f(x)＝2sin2x＋sin2x－.
(1)求f(x)的最小正周期及f(x)图象的对称中心；
(2)若x∈，求f(x)的值域．
【解】 (1)f(x)＝2×＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝(sin 2x－cos 2x)
＝sin .
所以T＝π.
令2x－＝kπ，k∈Z，
所以x＝＋，k∈Z.
所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin ∈[－1，)，
所以f(x)∈[－，).
所以当x∈时，f(x)的值域为[－，).
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
要求函数的性质(周期、最值、对称性、单调性等)，需先把函数化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式，在化简过程中，主要用倍角公式的降幂公式和辅助角公式．
角度2 在平面几何中的应用
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET (对接教材例5)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2＝1＋cos2A.
(1)求角A的大小；
(2)若sin2A＝2sin2B－2sin2C，求cos2C－cos 2B的值．
【解】 (1)由2sin2＝1＋cos2A，
可得cos 2A＋cos (B＋C)＝0，
即cos 2A－cos A＝0，
故2cos2A－cosA－1＝0，
解得cos A＝－或cos A＝1，
又A∈(0，π)，故cos A＝－，A＝.
(2)由(1)可知，A＝，sin A＝，
则sin2A＝2sin2B－2sin2C＝(1－cos2B)－(1－cos 2C)＝cos 2C－cos 2B＝，
所以cos 2C－cos 2B＝.
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "解题技法LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\解题技法LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
在解决具体问题时，要结合之前所学的所有的公式，灵活运用，融会贯通，要注意题目中的隐含条件，要会对三角函数值的符号进行判断．尤其是在三角形中，最多只有一个直角或钝角，正弦值均为正，余弦和正切值并不一定为正．
[跟踪训练4] (1)在锐角三角形ABC中，若sin A cos A＝cos2A－，则A＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B.由题意＝，又2A∈(0，π)，所以cos 2A＝sin 2A>0，所以tan 2A＝1，2A＝，A＝.故选B.
(2)已知函数f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2·sinωx cos ωx(ω>0)，且f(x)的图象中相邻的两个最高点之间的距离为π.
①求f(x)的最大值；
②求f(x)的单调递增区间．
解：①f(x)＝－(cos2ωx－sin2ωx)＋sin2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin .
依题意知T＝π，所以＝π，所以ω＝1.
所以f(x)＝2sin ，
当2x－＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值为2.
②令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
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1．已知cos 2α＝，则sin2α＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D.cos2α＝1－2sin2α＝，所以sin2α＝.故选D.
2．(多选)(教材P102T1改编)下列各式中值为1的是( )
A．sin 75°cos 75°
B．cos215°－sin215°
C．＋2sin215°
D．sin22024＋cos22024
解析：选CD.对于A，sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，不符合题意；对于B，cos215°－sin215°＝cos30°＝，不符合题意；对于C，＋2sin215°＝＋1－cos30°＝＋1－＝1，符合题意；对于D，sin22024＋cos22024＝1，符合题意．故选CD.
3．(教材P103 练习AT4改编)已知α是第二象限角，且sin α＝，则tan 2α＝________．
解析：由sin α＝，α是第二象限角，
可知cos α＝－＝－，
所以tanα＝＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
答案：
4．化简与证明：
(1)化简：；
(2)求证：3＋cos4α－4cos 2α＝8sin4α.
解：(1)原式＝
＝
＝
＝＝＝1.
(2)证明：左边＝3＋2cos22α－1－4(1－2sin2α)＝3＋2(1－2sin2α)2－5＋8sin2α＝－2＋2(1＋4sin4α－4sin2α)＋8sin2α＝8sin4α＝右边．
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "G:\\2024 PPT 备用\\8月\\23数学\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\课堂小结.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．已学习：利用二倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明．
2．须贯通：二倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如4α是2α倍角，α是的倍角，在二倍角公式中，要特别关注二倍角的余弦公式及其变形．
3．应注意：化简求值开根号，易忽略角的范围；具体问题中隐含的条件．