8．2.3　课后达标 检测（教师版）

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1．sin cos ＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.由题意得，sin cos ＝sin (－)cos ＝cos2＝＝＝.故选B.
2．化简－的结果是(　　)
A．cos 10° B．－cos 10°
C．sin 10° D．－sin 10°
解析：选D.原式＝
－
＝|cos 10°－sin 10°|－|cos 10°|
＝(cos 10°－sin 10°)－cos 10°
＝－sin 10°.故选D.
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝－3x上，则tan (2θ＋)＝(　　)
A．－ B．
C．7 D．－7
解析：选C.由题意得tan θ＝－3，所以tan 2θ＝＝＝，所以tan(2θ＋)＝＝7.故选C.
4．若cos (x－)＝，则sin (2x＋)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：选D.因为2x＋＝2(x－)＋，
所以sin (2x＋)＝sin [＋2(x－)]
＝cos [2(x－)]＝2cos 2(x－)－1
＝2×()2－1＝.
故选D.
5．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：选B.依题意，
得
所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＋＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝，故选B.
6．(多选)若α∈(0，π)，sinα－cos α＝，则(　　)
A．sin 2α＝
B．tan α＝
C．cos 2α＝－
D．sin α＋cos α＝
解析：选BCD.对于A，已知α∈(0，π)，sin α－cos α＝，两边平方得1－2sin αcos α＝，即sin αcos α＝，所以sin 2α＝，故A错误；
对于B，联立又α∈(0，π)，
得所以tan α＝，故B正确；
对于C，由B选项得cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝－，故C正确；
对于D，由B选项可得sinα＋cos α＝，故D正确．故选BCD.
7．已知sin α＝cos ，则tan 2α＝_________________________________.
解析：由sin α＝cos ＝cos α＋sin α，
解得tan α＝，
所以tan 2α＝＝＝.
答案：
8．已知sin(α＋)＝－，则sin (2α＋)＝________．　
解析：sin (2α＋)＝sin [＋2(α＋)]＝cos [2(α＋)]＝1－2sin2(α＋)＝1－2×(－)2＝.
答案：
9．若tanθ＝，则＝________．
解析：原式＝
＝＝＝tan4θ＝.
答案：
10．已知θ为锐角，2sinθ＝sin 2θ.求：
(1)cos θ的值；
(2)cos (π－2θ)的值．
解：(1)因为θ为锐角，则sin θ>0，cos θ>0，
因为2sin θ＝sin 2θ＝2sin θcos θ，故cos θ＝.
(2)cos (π－2θ)＝－cos 2θ＝1－2cos2θ＝1－2×()2＝.
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11．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，若C＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.因为＝＝＝，C＝，所以sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，又012．(多选)密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若(sin α－cos α)2＝2sin αcos α，则角α可取的值用密位制表示正确的是(　　)
A．12—50 B．2—50
C．13—50 D．32—50
解析：选ABD.因为(sin α－cos α)2＝2sin αcos α，即sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝2sinαcos α，即4sin αcos α＝1，所以sin 2α＝，所以2α＝＋2kπ，k∈Z或2α＝＋2kπ，k∈Z，解得α＝＋kπ，k∈Z或α＝＋kπ，k∈Z.对于A，密位制12—50对应的角为×2π＝，符合题意；对于B，密位制2—50对应的角为×2π＝，符合题意；对于C，密位制13—50对应的角为×2π＝，不符合题意；对于D，密位制32—50对应的角为×2π＝，符合题意．故选ABD.
13．已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．
解析：因为tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(0，π)，
所以α∈(0，)，β∈(，π)，
因为tan 2α＝＝＝>0，
所以2α∈(0，)，β∈(，π)，
因此－π<2α－β<0，
因为tan(2α－β)＝
＝＝1，
所以2α－β＝－.
答案：－
14．已知－<α<0，且f(α)＝cos α－sin α·－1.
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)＝，求的值．
解：(1)因为－<α<0，所以sin α<0，cos α>0，
所以f(α)＝cos α－sin α －1＝cos α－sin α －1
＝cosα＋sin α×－1＝2cos α.
(2)因为f(α)＝2cos α＝，所以cos α＝，
又－<α<0, 所以sin α＝－，
所以＝
＝＝2sin αcos α
＝2×(－)×＝－.
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15．利用两角和的正弦公式、倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值．先利用sin 3α＝sin (2α＋α) 可求得sin 3α＝________(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝________．
解析：sin 3α＝sin (2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α
＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sinα
＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sinα
＝3sin α－4sin3α.
因为sin72°＝sin 108°，
所以2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，
即2cos36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°)，
令cos36°＝x>0，则4x2－2x－1＝0，
解得x＝或x＝(舍去).
答案：3sin α－4sin3α　
16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos(π＋B)＋sin (＋2B)＋＝0.
(1)求角B；
(2)若△ABC是锐角三角形，求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．
解：(1)由题设可得，－2cos B＋cos 2B＋＝0，
即2cos2B－2cosB＋＝0，
所以4cos2B－4cosB＋1＝0，
即(2cos B－1)2＝0，
解得cos B＝，
又B∈(0，π)，故B＝.
(2)由(1)知B＝，则A＋C＝，
故A＝－C，又△ABC是锐角三角形，
则解得所以cos A＋cos B＋cos C＝cos (－C)＋cos C＋＝sin C＋cos C＋＝sin (C＋)＋，
因为