模块综合检测B（教师版）

模块综合检测B
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边过点P(－4m，3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α的值是(　　)
A．1或－1 B．或－
C．1或－ D．－1或
解析：选B.当m>0时，2sin α＋cos α＝2×＋＝；当m<0时，2sin α＋cos α＝2×＋＝－.
2．若|a|＝2cos 75°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，则a·b的值为(　　)
A． B．
C． D．2
解析：选C.因为|a|＝2cos 75°＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，a与b的夹角为30°，所以a·b＝|a||b|·cos 30°＝2sin 15°·4cos 15°·cos 30°＝4sin 30°cos 30°＝2sin 60°＝2×＝.
3．已知α∈，cos ＝－，则tan ＝(　　)
A． B．7
C．－ D．－7
解析：选A.因为α∈，cos ＝－sin α＝－，所以sin α＝，所以cos α＝－＝－，所以tanα＝＝－，则tan ＝＝，故选A.
4．在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足 ·＞0，则点P与圆C的位置关系是(　　)
A．点P在圆C外部
B．点P在圆C上
C．点P在圆C内部
D．点P在圆C上或圆C内部
解析：选A.在同一平面内，线段AB为圆C的直径，动点P满足·＝||||cos ∠APB＞0，所以∠APB为锐角，所以点P在圆C的外部．
5．将函数y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)
A． B．
C．0 D．－
解析：选B.y＝sin (2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位可得到y＝sin ＝sin 的图象．
当φ＝时，y＝sin (2x＋π)＝－sin 2x，为奇函数，不符合题意；
当φ＝时，y＝sin ＝cos 2x，为偶函数，符合题意；
当φ＝0时，y＝sin ，为非奇非偶函数，不符合题意；
当φ＝－时，y＝sin 2x，为奇函数，不符合题意．故选B.
6．设向量a＝(1，－1)与b＝(sin2α，cos2α)，α∈，且a·b＝，则α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.由向量a＝(1，－1)与b＝(sin2α，cos2α)，α∈，且a·b＝，可得sin2α－cos2α＝，即cos2α＝－.所以α＝.故选B.
7.
INCLUDEPICTURE "../../RBW7.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RBW7.TIF" \* MERGEFORMATINET
已知|p|＝2，|q|＝3，p，q的夹角为，如图，若＝5p＋2q，＝p－3q，D为BC的中点，则||＝(　　)
A． B．
C．7 D．18
解析：选A.因为＝(＋)＝(6p－q)，
所以||＝＝
＝
＝
＝.
8.
INCLUDEPICTURE "../../RASX-32.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RASX-32.TIF" \* MERGEFORMATINET
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)与函数y＝g(x)的部分图象如图所示，且函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象向右平移个单位得到，则g(x)在区间上的最大值为(　　)
A． B．1
C． D．
解析：选D.由题意可知，将函数y＝g(x)图象上的点(－，0)向右平移个单位，可得y＝f(x)的图象与x轴负半轴的第一个(从右往左)交点为(－，0)，因为y＝f(x)的图象与x轴正半轴的第一个(从左往右)交点为(，0)，所以T＝2×(＋)＝，得ω＝2，则f(x)＝sin (2x＋φ)，又f(－)＝sin (－＋φ)＝0，且－为f(x)单调递增区间上的零点，所以φ＝＋2kπ，k∈Z，由|φ|＜知，φ＝，则f(x)＝sin (2x＋)，g(x)＝sin ＝cos (2x＋)，当x∈时，2x＋∈，cos (2x＋)∈，故g(x)在区间上的最大值为.故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知|a|＝1，|b|＝2，a＝λb，λ∈R，则|a－b|可以为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选BD.由a＝λb可知a∥b，即a与b的夹角为0°或180°，|a－b|2＝a2＋b2－2|a||b|cos 0°＝|a|2＋|b|2－2|a|·|b|＝1＋4－4＝1或|a－b|2＝a2＋b2－2|a|·|b|cos 180°＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝1＋4＋4＝9，所以|a－b|＝1或3.
10．计算下列各式的值，其结果为2的有(　　)
A．tan 15°＋tan 60°
B．(－)
C．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)
D．4sin 18°sin 54°
解析：选ABC.对于A，tan 15°＋tan 60°＝tan (45°－30°)＋＝＋＝2－＋＝2，故A正确；
对于B，(－)
＝·＝
＝＝2，故B正确；
对于C，(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan (18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2，故C正确；
对于D，4sin 18°sin 54°＝4sin (90°－72°)·sin (90°－36°)＝4cos 72°cos 36°＝＝＝＝＝＝1，故D错误．故选ABC.
11．将函数f(x)＝sin (ωx－)(0<ω<6)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若(0，)是g(x)的一个单调递增区间，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在(，)上单调递增
C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为1
D．方程f(x)＝－在[0，π]上有5个实数根
解析：选ABD.函数f(x)＝sin (ωx－)(0<ω<6)的图象向右平移个单位后得到
g(x)＝sin [ω(x－)－]＝sin (ωx－－) 的图象，显然g(x)的最小正周期为T＝，
则是g(x)的半个最小正周期，
又(0，)是g(x)的一个单调递增区间，则g(0)＝－1，
即有－－＝2kπ－，k∈Z，
解得ω＝－24k＋4，k∈Z，而0<ω<6，解得ω＝4，
于是f(x)＝sin (4x－)，
对于A，函数f(x)的最小正周期T＝＝，A正确；
对于B，由x∈(，)，得4x－∈(，)，函数y＝sin x 在(，)上单调递增，因此函数f(x)在(，)上单调递增，B正确；
对于C，g(x)＝sin (4x－)＝－cos 4x，则F(x)＝sin (4x－)－cos 4x＝sin 4x－cos 4x＝sin (4x－)，
因此函数F(x)的最大值为，C错误；
对于D，当x∈[0，π]时，4x－∈[－，]，
由f(x)＝－，得4x－＝－，4x－＝，4x－＝，4x－＝，4x－＝，因此方程f(x)＝－在[0，π]上有5个实数根，D正确．故选ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量a，b满足a＝(－1，2)，b＝(2，m).若a∥b，则a·b＝__________．
解析：因为a∥b，所以m＝－4，所以b＝(2，－4)，所以a·b＝－1×2＋2×(－4)＝－10.
答案：－10
13.
INCLUDEPICTURE "../../ssy4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\ssy4.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图所示，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0，4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)，赛道的后一部分为折线段MNP，则ω＝____________，M，P两点间的距离为____________．
解析：对于曲线段OSM，易知，A＝2，
T＝3×4＝12，
故ω＝＝，
所以曲线段为函数y＝2sin x，
所以yM＝2sin ＝3，故M.又P，
故MP＝＝5.
答案：　5
14．将函数f(x)＝sin (0<ω<1)的图象向左平移个单位后得到曲线C，若曲线C关于y轴对称，则曲线C的一个对称中心为____________．
解析：将f(x)的图象向左平移个单位后得到曲线C，则曲线C对应的函数解析式为y＝sin ＝sin .因为曲线C关于y轴对称，所以＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝2k＋(k∈Z).又0<ω<1，则ω＝，所以曲线C对应的函数解析式为y＝sin ＝cos x，由x＝＋mπ(m∈Z)得x＝＋3mπ(m∈Z)，令m＝0，得x＝，所以曲线C的一个对称中心为.
答案：(答案不唯一)
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝(，－)，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为 ，求x的值．
解：(1)若m⊥n，则m·n＝0.由向量数量积的坐标公式得
sin x－ cos x＝0，所以tan x＝1.
(2)因为m与n的夹角为 ，
所以m·n＝|m||n|cos ，
即 sin x－ cos x＝ ，
所以sin ＝ .
又因为x∈，
所以x－ ∈，
所以x－ ＝，即x＝ .
16．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝a sin x＋b cos x，其中ab≠0.
(1)若b＝1，是否存在实数a使得函数f(x)为偶函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)若x＝为函数f(x)图象的一条对称轴，求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)当b＝1时，f＝a sin x＋cos x，
若存在实数a使得函数f为偶函数，
则f＝f恒成立，
即a sin ＋cos ＝a sin x＋cos x恒成立，
整理得a sin x＝0恒成立，所以a＝0，与ab≠0矛盾，
故不存在实数a使得函数f(x)为偶函数．
(2)结合三角函数的性质知，三角函数在对称轴处取最值，
又由辅助角公式知f的最值为±，
所以f＝a－b＝±，
两边平方，得a2＋b2－ab＝a2＋b2，所以a2＋b2＋ab＝0，即2＝0，所以b＝－a≠0，
所以f＝a＝a sin ，
当a>0时，令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以单调递增区间是，k∈Z，
当a<0时，令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
所以单调递增区间是，k∈Z.
17.
INCLUDEPICTURE "../../BM8.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BM8.TIF" \* MERGEFORMATINET
(本小题满分15分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)在[－，π]上的单调递增区间；
(2)若函数y＝f(x)在区间[－，a]上恰有5个零点，求实数a的取值范围．
解：(1)由题中函数f(x)的图象，可得A＝2，T＝4×(－)＝π，则ω＝＝2，所以f(x)＝2sin (2x＋φ).
由点(，－2)在f(x)的图象上可得2×＋φ＝＋2k1π，k1∈Z，解得φ＝＋2k1π，k1∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin (2x＋)，令2k2π－≤2x＋≤2k2π＋，k2∈Z，解得k2π－≤x≤k2π＋，k2∈Z，所以函数y＝f(x)在[－，π]上的单调递增区间为[－，]，[，π].
(2)因为x∈[－，a]，所以－≤2x＋≤2a＋，当－≤2x＋<0无零点；当2x＋＝0时，有第一个零点，正弦函数周期为2π，每一个周期内有两个零点，
要满足有5个零点，则4π≤2a＋<5π，解得≤a<，
所以实数a的取值范围是[，).
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)＋2sin2－1(ω>0，0<φ<π)为奇函数，且f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的解析式与单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈时，求方程2g2(x)＋g(x)－3＝0的所有根的和．
解：(1)由题意，f(x)＝sin(ωx＋φ)＋2sin2－1＝sin(ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2sin ，
因为f(x)图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以f(x)的最小正周期为T＝π，即可得ω＝2，
又f(x)为奇函数，则φ－＝kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝2sin 2x，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为
，k∈Z.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，可得y＝2sin 的图象，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)＝2sin 的图象，又2g2(x)＋g－3＝0，则g＝－或g＝，
即sin ＝－或sin ＝.
令z＝4x－，当x∈时，z＝4x－∈，
画出y＝sin z的图象如图所示：
INCLUDEPICTURE "../../SSY5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\SSY5.TIF" \* MERGEFORMATINET
sin z＝有两个根z1，z2，关于直线z＝对称，即z1＋z2＝π，
sin z＝－有z3＝－，z4＝，z5＝，
sin ＝在上有两个不同的根x1，x2，4x1－＋4x2－＝π，所以x1＋x2＝；又sin ＝－的根为0，，，所以方程2g2(x)＋g－3＝0在x∈内所有根的和为＋0＋＋＝.
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝cos 4x＋sin 2x－2sin 2x sin2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，得到g(x)的图象．若对任意x1，x2∈[0，t]，当x1解：(1)因为f(x)＝cos4x＋(1－2sin2x)sin2x＝cos 4x＋cos 2x sin 2x＝cos 4x＋sin 4x＝sin ，所以函数f(x)的最小正周期为，最大值是.
(2)因为对任意x1，x2∈[0，t]，当x1即h(x1)又g(x)＝f＝sin
＝sin ，
所以h(x)＝f(x)－g(x)
＝sin －sin
＝×sin 4x
＝sin 4x.
令－＋2kπ≤4x≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋≤x≤＋，k∈Z，所以h(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以实数t的最大值为.