模块综合检测A（教师版）
文档属性
| 名称 | 模块综合检测A（教师版） |
|
|
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 533.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-27 00:00:00 | ||
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文档简介
模块综合检测A
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A.因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.
2．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．－
解析：选B.由|a＋b|＝，得7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cosθ，所以cos θ＝.
3．已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则( )
A．aC．c解析：选A.因为a＝＝sin 55°，
b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°，
c＝＝＝tan 65°，
又sin 55°所以a4．已知向量a＝(cos 75°，sin 75°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则|a－b|的值为( )
A． B．1
C．2 D．3
解析：选B.如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a－b|＝||，且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因为|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.
5．已知f(x)＝sin ＋cos 的最大值为A.若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2| 的最小值为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.f(x)＝sin ＋cos ＝sin 2 020x cos ＋cos 2 020x sin ＋cos 2 020x cos ＋sin 2 020x sin ＝sin 2 020x＋cos 2 020x＋cos 2 020x＋sin 2 020x＝sin 2 020x＋cos 2 020x＝2sin ，所以f(x)的最大值A＝2.由题意得，|x1－x2|的最小值为＝，所以A|x1－x2|的最小值为＝.
6.
INCLUDEPICTURE "../../rbw3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\rbw3.TIF" \* MERGEFORMATINET
函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x 的图象，可将函数f(x)的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解析：选A.因为f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)，函数图象过点，所以－1＝sin ，解得φ＝，因此函数f(x)＝sin 的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin 2x的图象，故选A.
7．已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)的图象关于点(，0)对称，且f(x)在(0，)上单调，则ω的取值集合为( )
A.{2} B．{8}
C．{2，8} D．{2，8，14}
解析：选C.因为f(x)的图象关于点(，0)对称，
所以sin (ω－)＝0，
所以ω－＝kπ，ω＝6k＋2，k∈Z ①；
因为0＜x＜，所以－＜ωx－＜ω－.
又f(x)在(0，)上单调，
所以ω－≤，所以0＜ω≤8 ②，
由①②得ω的取值集合为{2，8}．故选C.
8.
INCLUDEPICTURE "../../RBW4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RBW4.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D.由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，
则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)
＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1].
因为0≤t≤2，所以当t＝1时，(＋)·有最小值，最小值为－2.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中，值为的是( )
A．cos 36°cos 72° B．sin sin
C．＋ D．－cos215°
解析：选AB.对于A，cos36°cos 72°＝
＝＝＝＝，故A正确；
对于B，sin sin ＝sin cos
＝·2sin cos ＝sin ＝，故B正确；
对于C，原式＝
＝＝
＝＝4，故C错误；
对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．
10．定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a||b|·sin 〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有( )
A．a在b上的投影的数量为|a|·sin 〈a，b〉
B．(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
C．λ(a*b)＝(λa)*b
D．若a*b＝0，则a与b平行
解析：选BD.对于选项A，a在b上的投影的数量为|a|·cos 〈a，b〉，故选项A错误．
对于选项B，(a*b)2＋(a·b)2
＝|a|2|b|2(sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)
＝|a|2|b|2，故选项B正确．
对于选项C，λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉．
(λa)*b＝|λa||b|sin 〈λa，b〉，
当λ<0时，不成立，故选项C错误．
因为a*b＝0，所以sin 〈a，b〉＝0，
所以〈a，b〉＝0°或180°，即a与b平行，故选项D正确.
11．若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为3π，f()＝－f(0)，则( )
A．φ＝
B．直线x＝4π是f(x)图象的对称轴
C．点(－，0)是f(x)图象的对称中心
D．f(x)在(0，π)上单调递增
解析：选BD.因为f(x)的最小正周期T＝3π，所以ω＝＝，则f(x)＝sin (x＋φ).
对于A，因为f()＝－f(0)，
所以f(x)的图象关于点(，0)中心对称，
所以×＋φ＝kπ(k∈Z)，
解得φ＝－＋kπ(k∈Z)，
又|φ|＜，所以φ＝－，A错误；
对于B，由A知f(x)＝sin (x－)，
当x＝4π时，x－＝－＝，所以直线x＝4π是f(x)图象的对称轴，B正确；
对于C，当x＝－时，x－＝－－＝－，所以点(－，0)不是f(x)图象的对称中心，C错误；
对于D，当x∈(0，π)时，x－∈(－，)，
所以f(x)在(0，π)上单调递增，D正确．故选BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2).若∠ABO＝90°，则实数t的值为____________．
解析：因为∠ABO＝90°，所以⊥，所以·＝0.又＝－＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，所以(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0，所以t＝5.
答案：5
13．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n个月从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数f(n)＝3 000cos ＋4 000来表示(其中n＝1，2，…，12).当该旅游区从事旅游服务工作的人数在5 500或5 500以上时，该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”，那么该旅游区一年中进入“旅游旺季”的月份有________个．
解析：令3 000cos ＋4 000≥5 500，
即cos ≥，则－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－6＋12k≤n≤－2＋12k，k∈Z.
因为1≤n≤12，n∈N＋，所以6≤n≤10，n∈N＋.所以n＝6，7，8，9，10，共5个．
答案：5
14．已知向量＝(2，0)，＝(2，2)，＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，则向量与的夹角的取值范围是______________．
解析：因为＝(cos θ，sin θ)，
INCLUDEPICTURE "../../RBW6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RBW6.TIF" \* MERGEFORMATINET
所以||＝，所以A的轨迹是以C为圆心，以为半径的圆．
当OA与圆C相切时，对应的与的夹角取得最值．
因为|OC|＝2，|CA|＝，
所以∠COA＝，又tan ∠COB＝＝1，
所以∠COB＝，所以两向量的夹角的最小值为－＝；最大值为＋＝.
故向量与的夹角的取值范围是.
答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos (α＋β)＝－.求：
(1)cos 2α的值；
(2)角β－α的值．
解：(1)由≤α≤得≤2α≤π，
因为sin 2α＝，
则cos 2α＝－＝－＝－.
(2)由≤α≤，π≤β≤知≤α＋β≤2π，
因为cos (α＋β)＝－，
则sin (α＋β)＝－
＝－＝－，
由sin (β－α)＝sin [(α＋β)－2α]
＝sin (α＋β)cos 2α－cos (α＋β)sin 2α
＝－×(－)－(－)×＝，
又≤β－α≤，故β－α＝.
16．(本小题满分15分)已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)(0<α<π).
(1)若|＋|＝(O为坐标原点)，求与的夹角；
(2)若⊥，求tan α的值．
解：(1)因为＋＝(2＋cos α，sin α)，
|＋|＝，所以(2＋cos α)2＋(sin α)2＝7，
解得cos α＝.又α∈(0，π)，所以α＝，
所以＝(，)，所以cos 〈，〉＝＝，
所以与的夹角为.
(2)＝(cos α－2，sin α)，＝(cos α，sin α－2)
因为⊥，所以·＝0，
即cos α＋sin α＝，两边平方得2sin αcos α＝－，
因为α∈(0，π)，所以α∈，又cos2α＋sin2α＝1，
所以cosα＝，sin α＝，所以tan α＝－.
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋2.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)将y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，当x∈[－，]时，方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋2cos2x＋2
＝sin2x＋cos 2x＋3＝2sin (2x＋)＋3，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)＋3，
那么将f(x)图象上各点的纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到g(x)＝2sin x＋3的图象．
当x∈[－，]时，sin x∈[－，]，g(x)∈[2，3＋]，
由方程g(x)＝m有解，可得实数m的取值范围为[2，3＋].
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝A sin (A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y＝sin (x－)的图象平移得到；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．
解：(1)函数f(x)＝A sin 满足的条件为①③.
理由如下：由题意可知条件①②中的最大值不一样，所以互相矛盾，
故③为函数f(x)＝A sin 满足的条件之一，由③可知，T＝π，所以ω＝2，故②不合题意，所以函数f(x)＝A sin 满足的条件为①③；
由①可知A＝2，所以f(x)＝2sin .
(2)因为f(x)＋1＝0，所以sin ＝－，
所以2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝－＋kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[－π，π]，所以x的取值为－，，－，，
所以方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为.
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<ω≤6，|φ|≤π)的部分图象如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../BM4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BM4.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α∈(，)，f(α)＝，求f(2α)的值；
(3)若关于x的方程f(x)＝a在[，π]上有两个不同的实根x1，x2，且x1解：(1)由题图可知，A＝1，因为f(0)＝sin φ＝－，又|φ|≤π，所以φ＝－，
所以f(x)＝sin (ωx－)，又ω×－＝＋2kπ，k∈Z，
所以ω＝2＋6k，k∈Z，由0<ω≤6得ω＝2，
所以f(x)＝sin (2x－).
(2)因为f(α)＝sin (2α－)＝，
所以cos (4α－)＝1－2×()2＝－，
又α∈(，)，所以4α－∈(π，)，
所以sin (4α－)＝－＝－，
所以f(2α)＝sin (4α－)＝sin [(4α－)＋]
＝sin (4α－)cos ＋cos (4α－)sin
＝－×＋(－)×＝－.
(3)令t＝2x－，则当x∈[，π]时，t∈[，]，易知函数y＝sin t在[，]上单调递减，
在[，]上单调递增，又sin ＝，sin ＝－1，sin ＝－，
因为方程f(x)＝a在[，π]上有两个不同的实根x1，x2，所以y＝sin t，t∈[，]的图象与直线y＝a有两个不同的交点，设交点的横坐标分别为t1，t2，且t1INCLUDEPICTURE "../../BM5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BM5.TIF" \* MERGEFORMATINET
由图知－1又≤t1＝2x1－<，所以≤x1<，
所以2x1＋x2＝x1＋x1＋x2＝x1＋∈[，).
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选A.因为α为第二象限角，所以cos α＝－＝－.
2．若|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a与b的夹角θ的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．－
解析：选B.由|a＋b|＝，得7＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2cosθ，所以cos θ＝.
3．已知a＝，b＝(sin 20°＋cos 20°)，c＝，则( )
A．a
b＝(sin 20°＋cos 20°)＝sin 65°，
c＝＝＝tan 65°，
又sin 55°
A． B．1
C．2 D．3
解析：选B.如图，将向量a，b的起点都移到原点，即a＝，b＝，则|a－b|＝||，且∠xOA＝75°，∠xOB＝15°，于是∠AOB＝60°，又因为|a|＝|b|＝1，则△AOB为正三角形，从而||＝|a－b|＝1.
5．已知f(x)＝sin ＋cos 的最大值为A.若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2| 的最小值为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.f(x)＝sin ＋cos ＝sin 2 020x cos ＋cos 2 020x sin ＋cos 2 020x cos ＋sin 2 020x sin ＝sin 2 020x＋cos 2 020x＋cos 2 020x＋sin 2 020x＝sin 2 020x＋cos 2 020x＝2sin ，所以f(x)的最大值A＝2.由题意得，|x1－x2|的最小值为＝，所以A|x1－x2|的最小值为＝.
6.
INCLUDEPICTURE "../../rbw3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\rbw3.TIF" \* MERGEFORMATINET
函数f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x 的图象，可将函数f(x)的图象( )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
解析：选A.因为f(x)＝sin (2x＋φ)(0<φ<π)，函数图象过点，所以－1＝sin ，解得φ＝，因此函数f(x)＝sin 的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin 2x的图象，故选A.
7．已知函数f(x)＝sin (ωx－)(ω＞0)的图象关于点(，0)对称，且f(x)在(0，)上单调，则ω的取值集合为( )
A.{2} B．{8}
C．{2，8} D．{2，8，14}
解析：选C.因为f(x)的图象关于点(，0)对称，
所以sin (ω－)＝0，
所以ω－＝kπ，ω＝6k＋2，k∈Z ①；
因为0＜x＜，所以－＜ωx－＜ω－.
又f(x)在(0，)上单调，
所以ω－≤，所以0＜ω≤8 ②，
由①②得ω的取值集合为{2，8}．故选C.
8.
INCLUDEPICTURE "../../RBW4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RBW4.TIF" \* MERGEFORMATINET
如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是( )
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D.由平行四边形法则得＋＝2，
故(＋)·＝2·，又||＝2－||，且，反向，设||＝t(0≤t≤2)，
则(＋)·＝2·＝－2t(2－t)
＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1].
因为0≤t≤2，所以当t＝1时，(＋)·有最小值，最小值为－2.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中，值为的是( )
A．cos 36°cos 72° B．sin sin
C．＋ D．－cos215°
解析：选AB.对于A，cos36°cos 72°＝
＝＝＝＝，故A正确；
对于B，sin sin ＝sin cos
＝·2sin cos ＝sin ＝，故B正确；
对于C，原式＝
＝＝
＝＝4，故C错误；
对于D，－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos30°＝－，故D错误．
10．定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a||b|·sin 〈a，b〉，其中〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有( )
A．a在b上的投影的数量为|a|·sin 〈a，b〉
B．(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
C．λ(a*b)＝(λa)*b
D．若a*b＝0，则a与b平行
解析：选BD.对于选项A，a在b上的投影的数量为|a|·cos 〈a，b〉，故选项A错误．
对于选项B，(a*b)2＋(a·b)2
＝|a|2|b|2(sin2〈a，b〉＋cos2〈a，b〉)
＝|a|2|b|2，故选项B正确．
对于选项C，λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉．
(λa)*b＝|λa||b|sin 〈λa，b〉，
当λ<0时，不成立，故选项C错误．
因为a*b＝0，所以sin 〈a，b〉＝0，
所以〈a，b〉＝0°或180°，即a与b平行，故选项D正确.
11．若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为3π，f()＝－f(0)，则( )
A．φ＝
B．直线x＝4π是f(x)图象的对称轴
C．点(－，0)是f(x)图象的对称中心
D．f(x)在(0，π)上单调递增
解析：选BD.因为f(x)的最小正周期T＝3π，所以ω＝＝，则f(x)＝sin (x＋φ).
对于A，因为f()＝－f(0)，
所以f(x)的图象关于点(，0)中心对称，
所以×＋φ＝kπ(k∈Z)，
解得φ＝－＋kπ(k∈Z)，
又|φ|＜，所以φ＝－，A错误；
对于B，由A知f(x)＝sin (x－)，
当x＝4π时，x－＝－＝，所以直线x＝4π是f(x)图象的对称轴，B正确；
对于C，当x＝－时，x－＝－－＝－，所以点(－，0)不是f(x)图象的对称中心，C错误；
对于D，当x∈(0，π)时，x－∈(－，)，
所以f(x)在(0，π)上单调递增，D正确．故选BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知＝(－1，t)，＝(2，2).若∠ABO＝90°，则实数t的值为____________．
解析：因为∠ABO＝90°，所以⊥，所以·＝0.又＝－＝(2，2)－(－1，t)＝(3，2－t)，所以(2，2)·(3，2－t)＝6＋2(2－t)＝0，所以t＝5.
答案：5
13．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n个月从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数f(n)＝3 000cos ＋4 000来表示(其中n＝1，2，…，12).当该旅游区从事旅游服务工作的人数在5 500或5 500以上时，该旅游区进入了一年中的“旅游旺季”，那么该旅游区一年中进入“旅游旺季”的月份有________个．
解析：令3 000cos ＋4 000≥5 500，
即cos ≥，则－＋2kπ≤＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－6＋12k≤n≤－2＋12k，k∈Z.
因为1≤n≤12，n∈N＋，所以6≤n≤10，n∈N＋.所以n＝6，7，8，9，10，共5个．
答案：5
14．已知向量＝(2，0)，＝(2，2)，＝(cos θ，sin θ)(θ∈R)，则向量与的夹角的取值范围是______________．
解析：因为＝(cos θ，sin θ)，
INCLUDEPICTURE "../../RBW6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\RBW6.TIF" \* MERGEFORMATINET
所以||＝，所以A的轨迹是以C为圆心，以为半径的圆．
当OA与圆C相切时，对应的与的夹角取得最值．
因为|OC|＝2，|CA|＝，
所以∠COA＝，又tan ∠COB＝＝1，
所以∠COB＝，所以两向量的夹角的最小值为－＝；最大值为＋＝.
故向量与的夹角的取值范围是.
答案：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)已知≤α≤，π≤β≤，sin 2α＝，cos (α＋β)＝－.求：
(1)cos 2α的值；
(2)角β－α的值．
解：(1)由≤α≤得≤2α≤π，
因为sin 2α＝，
则cos 2α＝－＝－＝－.
(2)由≤α≤，π≤β≤知≤α＋β≤2π，
因为cos (α＋β)＝－，
则sin (α＋β)＝－
＝－＝－，
由sin (β－α)＝sin [(α＋β)－2α]
＝sin (α＋β)cos 2α－cos (α＋β)sin 2α
＝－×(－)－(－)×＝，
又≤β－α≤，故β－α＝.
16．(本小题满分15分)已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)(0<α<π).
(1)若|＋|＝(O为坐标原点)，求与的夹角；
(2)若⊥，求tan α的值．
解：(1)因为＋＝(2＋cos α，sin α)，
|＋|＝，所以(2＋cos α)2＋(sin α)2＝7，
解得cos α＝.又α∈(0，π)，所以α＝，
所以＝(，)，所以cos 〈，〉＝＝，
所以与的夹角为.
(2)＝(cos α－2，sin α)，＝(cos α，sin α－2)
因为⊥，所以·＝0，
即cos α＋sin α＝，两边平方得2sin αcos α＝－，
因为α∈(0，π)，所以α∈，又cos2α＋sin2α＝1，
所以cosα＝，sin α＝，所以tan α＝－.
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋2.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)将y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，当x∈[－，]时，方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋2cos2x＋2
＝sin2x＋cos 2x＋3＝2sin (2x＋)＋3，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
(2)由(1)知f(x)＝2sin (2x＋)＋3，
那么将f(x)图象上各点的纵坐标保持不变，
横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，得到g(x)＝2sin x＋3的图象．
当x∈[－，]时，sin x∈[－，]，g(x)∈[2，3＋]，
由方程g(x)＝m有解，可得实数m的取值范围为[2，3＋].
18．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝A sin (A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数f(x)的最大值为2；②函数f(x)的图象可由y＝sin (x－)的图象平移得到；③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)请写出这两个条件序号，说明理由，并求出f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．
解：(1)函数f(x)＝A sin 满足的条件为①③.
理由如下：由题意可知条件①②中的最大值不一样，所以互相矛盾，
故③为函数f(x)＝A sin 满足的条件之一，由③可知，T＝π，所以ω＝2，故②不合题意，所以函数f(x)＝A sin 满足的条件为①③；
由①可知A＝2，所以f(x)＝2sin .
(2)因为f(x)＋1＝0，所以sin ＝－，
所以2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝－＋kπ(k∈Z)或x＝＋kπ(k∈Z)，
又因为x∈[－π，π]，所以x的取值为－，，－，，
所以方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和为.
19．(本小题满分17分)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，0<ω≤6，|φ|≤π)的部分图象如图所示．
INCLUDEPICTURE "../../BM4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator.SKY-20220223KGS\\Desktop\\BM4.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α∈(，)，f(α)＝，求f(2α)的值；
(3)若关于x的方程f(x)＝a在[，π]上有两个不同的实根x1，x2，且x1
所以f(x)＝sin (ωx－)，又ω×－＝＋2kπ，k∈Z，
所以ω＝2＋6k，k∈Z，由0<ω≤6得ω＝2，
所以f(x)＝sin (2x－).
(2)因为f(α)＝sin (2α－)＝，
所以cos (4α－)＝1－2×()2＝－，
又α∈(，)，所以4α－∈(π，)，
所以sin (4α－)＝－＝－，
所以f(2α)＝sin (4α－)＝sin [(4α－)＋]
＝sin (4α－)cos ＋cos (4α－)sin
＝－×＋(－)×＝－.
(3)令t＝2x－，则当x∈[，π]时，t∈[，]，易知函数y＝sin t在[，]上单调递减，
在[，]上单调递增，又sin ＝，sin ＝－1，sin ＝－，
因为方程f(x)＝a在[，π]上有两个不同的实根x1，x2，所以y＝sin t，t∈[，]的图象与直线y＝a有两个不同的交点，设交点的横坐标分别为t1，t2，且t1
由图知－1
所以2x1＋x2＝x1＋x1＋x2＝x1＋∈[，).