强化课　课后达标检测（教师版）

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一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝3，c＝2，则△ABC的面积为　(　　)
A．1 B．2
C．2 D．
解析：选C.因为cos A＝，所以sin A＝，所以S△ABC＝bc sin A＝2.故选C.
2．(2024·北京期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若△ABC的面积是，则A＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.由b2＋c2－a2＝2bc cos A及已知整理得△ABC的面积为bc sin A＝＝bc cos A≠0，所以cos A≠0，所以tan A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.
3.如图，在四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积为(　　)
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A． B．5
C．6 D．7
解析：选B.连接BD(图略).在△BCD中，由已知条件，知∠DBC＝＝30°，所以∠ABD＝90°.在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12.所以BD＝2，所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝×4×2＋×2×2×sin 120°＝5.
4．(2024·德州月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2sin A，则cos A的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选C.因为S△ABC＝bc sin A＝a2sin A，A∈(0，π)，sin A≠0，所以bc＝a2，所以cos A＝≥＝，当且仅当b＝c时等号成立，故cos A的最小值为.故选C.
5．已知△ABC，则“cos2A＋cos2B－cos2C>1”是“△ABC为钝角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为cos2A＋cos2B－cos2C>1，故1－sin2A＋1－sin2B－1＋sin2C>1，故sin2C>sin2A＋sin2B，故c2>a2＋b2，故cos C＝<0，而C为三角形内角，故C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，充分性成立；但若△ABC为钝角三角形，比如取C＝B＝，A＝，此时cos2A＋cos2B－cos2C＝<1，故cos2A＋cos2B－cos2C>1不成立，必要性不成立．所以“cos2A＋cos2B－cos2C>1”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件．故选A.
6．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(b－c)sin B＋c sin C＝a sin A，b cos C＋c cos B＝2，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．2
解析：选B.因为(b－c)sin B＋c sin C＝a sin A，
所以由正弦定理可得b2－bc＋c2＝a2，
所以cos A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
因为b cos C＋c cos B＝2，
所以由余弦定理的推论可得
b·＋c·＝2，
所以a＝2.
由a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得4＝b2＋c2－bc≥bc，
即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时，取等号，
则S△ABC＝bc sin A＝bc≤，
所以△ABC面积的最大值为.
故选B.
7．在圆O的内接四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，CD＝AD＝4，则四边形ABCD的面积S为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C.
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如图，连接BD，在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝4＋16－2×2×4cos ∠BAD＝20－16cos ∠BAD，在△CBD中，BD2＝16＋36－2×4×6cos ∠BCD＝52－48cos ∠BCD，因为∠BAD＋∠BCD＝180°，所以20－16cos ∠BAD＝52＋48cos ∠BAD，解得cos ∠BAD＝－，所以∠BAD＝120°，∠BCD＝60°.S＝S△ABD＋S△CBD＝×2×4×sin 120°＋×4×6×sin 60°＝8.
8．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B＝，c＝2，b＝，则(　　)
A．sin C＝
B．cos B＝－
C．a＝3
D．△ABC的面积为或
解析：选AD.对于A，因为sin B＝，c＝2，b＝，所以由＝，得×＝，解得sin C＝，故A正确；
对于B，因为c>b，所以C>B，故0因为sin B＝，所以cos B＝＝，故B错误；
对于C，由b2＝a2＋c2－2ac cos B，得2＝a2＋4－4a×，解得a＝或a＝3，经检验，a＝与a＝3都满足要求，故C错误；
对于D，当a＝时，S△ABC＝ac sin B＝××2×＝；当a＝3时，S△ABC＝ac sin B＝×3×2×＝，所以△ABC的面积为或，故D正确．故选AD.
9．(多选)(2024·葫芦岛月考)若向量＝(1，m)，＝(－1，2)，且与夹角的正弦值为，则△ABC的面积可能为(　　)
A． B．2
C． D．
解析：选BD.由题意得|cos 〈，〉|＝＝＝，
解得m＝2或m＝－.
故||＝＝或||＝＝，
又S△ABC＝||||sin 〈，〉，
故S△ABC＝×××＝2或S△ABC＝×××＝.故选BD.
10．(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论中正确的是(　　)
A．sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．若c＝6，则△ABC的外接圆的半径为
解析：选ACD.对于A，因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(其中x＞0)，解得所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确；
对于B，a，b，c中c最大，所以角A，B，C中角C最大，又由余弦定理的推论得cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以B错误；
对于C，a，b，c中a最小，所以角A，B，C中角A最小，
又cos A＝＝＝，
所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cos C，
因为角A，B，C中角C最大且C为锐角，所以2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，所以C正确；
对于D，因为2R＝(R为△ABC外接圆的半径)，sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确．故选ACD.
二、填空题
11．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC外接圆的半径为3，则a＝________．
解析：由S△ABC＝5，得bc sinA＝×20×sin A＝5，解得sin A＝，
再由正弦定理，得＝2×3，
即a＝×2×3＝3.
答案：3
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b cos C＋c cos B＝3a cos A，若S为△ABC的面积，则的最小值为________．
解析：由题设及正弦定理得，
sin B cos C＋sin C cos B＝3sin A cos A，　
即sin (B＋C)＝3sin A cos A，且A＋B＋C＝π，
故sin A＝3sin A cos A，
又sin A≠0，则cos A＝，
故sin A＝，
而a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，
S＝bc sin A＝，
所以＝≥＝2，当且仅当b＝c时等号成立，故的最小值为2.
答案：2
13.某消毒装备的设计如图所示，PQ为街道路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝，C处是喷洒消毒水的喷头，喷射角∠DCE＝.若AB＝3，BC＝6，则消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值为____________．
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解析：
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C到地面的距离h＝3＋6sin (－)＝6，因为S△CDE＝DE·h＝CD·CE·sin ，则6DE＝CD·CE，即4DE＝CD·CE，由余弦定理得DE2＝CD2＋CE2－2CD·CE cos ≥2CD·CE－CD·CE＝CD·CE，
当且仅当CD＝CE时等号成立，
故DE2≥CD·CE，则DE≥4，当且仅当CD＝CE时等号成立，故DE的最小值为4.
答案：4
三、解答题
14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A的大小；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m∥n，
所以a sin B－b cos A＝0，
由正弦定理，得sin A sin B－sin B cos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝，
由于0＜A＜π，
所以A＝.
(2)方法一：由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
而a＝，b＝2，A＝，
得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3，
故△ABC的面积S＝bc sin A＝.
方法二：由正弦定理，得＝，
从而sin B＝，
又由a＞b，知A＞B，
所以cos B＝，
故sin C＝sin (A＋B)＝sin
＝sin B cos ＋cos B sin ＝.
所以△ABC的面积S＝ab sin C＝.
15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b cos A＝c.
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(1)判断△ABC的形状，并加以证明；
(2)如图，△ABC外存在一点D，使得∠BAD＝，AD＝2，BD＝5，且BC＝2，求CD.
解：(1)△ABC为直角三角形．证明如下：
在△ABC中，由正弦定理得
sin B cos A＝sin C，又A＋B＋C＝π，
所以sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
化简得sin A cos B＝0，因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，所以cos B＝0，
又因为B∈(0，π)，所以B＝，
所以△ABC是直角三角形．
(2)在△ABD中，由正弦定理得
＝.
由题设知，＝，
所以sin ∠ABD＝＝.
由(1)知，cos ∠CBD＝cos
＝sin ∠ABD＝.
在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠CBD＝52＋(2)2－2×5×2×＝25，所以CD＝5.
16．设f(x)＝sin2x＋cosx sin x(ω＞0)，函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝，f(A)＝，求角C.
解：(1)f(x)＝＋sin ωx＝sin ＋，
因为函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，
因为＝π，则T＝＝2π，解得ω＝1，
所以f(x)＝sin ＋.
(2)由(1)及f(A)＝得，f(A)＝sin ＋＝，即A－＝2kπ＋，k∈Z，
因为A∈(0，π)，所以A－＝，即A＝，
由正弦定理＝得＝，
即sin B＝，B＝，C＝.