章末复习提升（教师版）

章末复习提升
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要点一　利用正弦、余弦定理解三角形
在解三角形时，常将正弦定理与余弦定理结合使用，要注意恰当地选择定理，简化运算过程，同时注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖掘题目中的隐含条件．
训练1　在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A．1 B．
C． D．3
解析：选D.方法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.
方法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝.又＝，所以BC＝3.故选D.
训练2　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b＝5，cos A＝，则△ABC的面积为________．
解析：由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即68＝50＋c2－2×5×c×，
即c2－8c－18＝0，
即(c－9)(c＋)＝0，
所以c＝9(负值已舍去)，
又因为cos2A＋sin2A＝1，
A∈(0，π)，所以sinA＝，
所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×9×＝27.
答案：27
训练3　(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝__________．
解析：如图所示，记AB＝c，AC＝b，BC＝a，
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方法一：由余弦定理可得，
22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，
因为b>0，解得b＝1＋，
由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得，
×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，
解得AD＝＝＝2.
方法二：由余弦定理可得，
22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，
因为b>0，解得b＝1＋，
由正弦定理可得，＝＝，
解得sin B＝，sin C＝，
因为0°所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，
又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，
即AD＝AB＝2.
答案：2
训练4　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sinB．
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)在△ABC中，A＋B＝3C，
又A＋B＋C＝π，所以C＝.
又因为2sin (A－C)＝sin B，
即2sin (－B)＝sin B，
所以sin B＝2cosB．
又因为sin2B＋cos2B＝1，B∈(0，)，
所以sin B＝，cos B＝，
所以sin A＝sin (B＋C)＝sin (B＋)＝sin B cos ＋cos B sin ＝.
(2)在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为AB＝c＝5，C＝，sin B＝，
sin A＝，
所以由正弦定理可得＝＝，
解得a＝3，b＝2.
设AB边上的高为h，由三角形的面积公式可得
ab sin ∠ACB＝c·h，
即×3×2×＝·5h，
解得h＝6，即AB边上的高为6.
要点二　判断三角形的形状
判断三角形的形状是看该三角形是否为特殊的三角形，是正、余弦定理应用的常见考查类型，利用边角之间的转化与化归方法是解决这类问题的基本思路．
训练5　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2＝，则△ABC的形状一定是(　　)
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A.因为cos2＝，所以＝，化简得sin A cos C＝sin B．因为B＝π－(A＋C)，所以sin A cos C＝sin (A＋C)，即cos A sin C＝0. 因为sin C≠0，所以cos A＝0，因为A∈(0，π)，即A＝90°，所以△ABC一定是直角三角形．
训练6　已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a＋c＝2b且2cos 2B－8cos B＋5＝0，求B的大小并判断△ABC的形状．
解：因为2cos 2B－8cos B＋5＝0，
所以2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，
所以4cos2B－8cosB＋3＝0，
即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.
解得cos B＝或cos B＝(舍去).
因为B∈(0，π)，所以B＝.
因为a＋c＝2b，
所以cos B＝＝＝.
化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c.
又a＋c＝2b，所以a＝b＝c.
所以△ABC是等边三角形．
要点三　正弦、余弦定理的实际应用
正弦、余弦定理在实际生活中有着广泛应用，常见的问题涉及距离、高度、角度等方面．解决这类问题的关键是由题意画出示意图，将问题转化为三角函数模型．
训练7　一艘船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是(　　)
A．5 n mile/h B．5 n mile/h
C．10 n mile/h D．10 n mile/h
解析：选C. 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10. 在Rt△ABC中，由正弦定理可得AB＝5，所以这艘船的速度是＝10(n mile/h).故选C.
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训练8　某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H处时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
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解：由题意，设AC＝x m，
则BC＝x－×340＝(x－40)(m).
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝BA2＋AC2－2BA·AC·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，
解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420 m，
∠CAH＝30°＋15°＝45°，
∠AHC＝90°－30°＝60°.
由正弦定理得＝，
所以CH＝AC·＝140 (m).
故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m．
要点四　正弦、余弦定理的综合应用
正、余弦定理解三角形常与三角形的面积有关，常与三角函数、三角恒等变换、不等式等知识结合．
训练9　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，b＝5，c＝.求：
(1)角C的大小；
(2)sin A的值；
(3)sin 的值．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，b＝5，c＝，得cos C＝＝，
又因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)在△ABC中，由正弦定理及C＝，a＝2，c＝，可得sin A＝＝.
(3)由a训练10　在△ABC中，AB＝2AC，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝kAC(k∈R).
(1)求k的取值范围；
(2)若S△ABC＝1，问k为何值时，BC最短？
解：(1)由AD是∠BAC的角平分线，
可得＝＝2.
在△ABC中，由正弦定理得＝.①
在△ACD中，由正弦定理得＝.②
①②两式相除，整理得＝·，因为AB＝2AC，所以＝·2cos ，故k＝cos .因为0°<∠BAC<180°，故cos ∈(0，1)，则k∈，即k的取值范围为.
(2)在△ABC中，由余弦定理及已知条件得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝AC2(5－4cos ∠BAC).
因为S△ABC＝1，所以AB·AC sin ∠BAC＝1，
即AC2＝，故BC2＝.
记y＝(y>0)，
则y sin ∠BAC＋4cos ∠BAC＝5，
即sin (∠BAC＋φ)＝5.
故当∠BAC＋φ＝90°时，y取得最小值3，此时cos ∠BAC＝cos (90°－φ)＝sin φ＝.又cos ∠BAC＝2cos2－1，且0°<∠BAC<180°，
则cos＝.
由(1)知k＝cos ，
故k＝×＝.
所以当k＝时，BC最短．