章末综合检测(一)（教师版）

章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若sin B＝b sin A，则a＝(　　)
A．2 B．
C．1 D．
解析：选B.由题意及正弦定理得b＝ba，所以a＝.故选B.
2．在△ABC中，若＝，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析：选D.因为＝，由正弦定理可得＝，即sin A cos A＝sin B cos B，所以sin 2A＝sin 2B，可得2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形．故选D.
3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝6，B＝60°，则b的最小值为(　　)
A．3 B．2
C．3 D．6
解析：选C.由正弦定理＝，得b＝＝，因为B＝60°，所以0°4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝2，cos A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.因为sin B＝2sin C，所以b＝2c，又sin A＝＝，所以由a2＝b2＋c2－2bc cosA，可得8＝4c2＋c2－3c2，解得c＝2(负值已舍去)，所以b＝4，所以S△ABC＝bc sin A＝×4×2×＝.故选A.
5．在锐角三角形ABC中，若C＝2B，则的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．(，2)
C．(，) D．(1，)
解析：选C.在锐角三角形ABC中，有解得＜B＜，又根据正弦定理得，＝＝＝＝2cos B，因为＜B＜，所以cos B∈，所以∈(，).故选C.
6．在△ABC中，a＝1，B＝45°，△ABC的面积为2，则三角形外接圆的半径为(　　)
A．2 B．4
C． D．3
解析：选C.由三角形的面积公式，
得2＝ac sin B＝c×，所以c＝4.
又b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×4×＝25，
所以b＝5.
设△ABC外接圆的半径为R，
又因为＝2R，
所以R＝＝＝.
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为BC边的中点，AD＝1，B＝，且△ABC的面积为，则c＝(　　)
A． B．1
C．2 D．3
解析：选B.在△ABD中，由余弦定理的推论可得cos B＝＝，
即a2＋4c2－2ac＝4，
因为S△ABC＝ac sin B＝ac＝，
所以ac＝2，代入a2＋4c2－2ac＝4中，
得a2－4ac＋4c2＝0，即(a－2c)2＝0，
所以a＝2c，所以c＝1.故选B.
8．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5 n mile到B处，测得灯塔D在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2 n mile到C处，此时船到灯塔D的距离为(　　)
A． n mile B． n mile
C．6 n mile D．5 n mile
解析：选A.根据题意可画图形，如图所示．
INCLUDEPICTURE "22CS28.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/22CS28.TIF" \* MERGEFORMAT
因为∠BAD＝∠ABD＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以AB＝BD＝5 n mile.在△BCD中，∠DBC＝60°且BC＝2，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝25＋4－2×5×2×＝19，则CD＝.所以此时船到灯塔D的距离为 n mile.故选A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列三角形中，只有一个解的是(　　)
A．A＝20°，B＝130°，C＝30°
B．a＝3，C＝90°，c＝
C．C＝118°，a＝6，c＝7
D．a＝4，C＝30°，c＝3
解析：选BC.A选项，有无数个解；B选项，因为C＝90°，c＝＞a，所以有且只有一个解；C选项，C＝118°，c＞a，所以有且只有一个解；D选项，因为a sin C＝c sin A＝2，所以sin A＝，又a＞c，所以有两个解．
10．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有(　　)
A．当a＝5，b＝7，A＝60°时，满足条件的三角形共有1个
B．若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最大角是120°
C．若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形
D．若C＝45°，a2－c2＝bc，则△ABC为等腰直角三角形
解析：选BD.对于A，sin B＝＝＝>1，无解，故A错误．对于B，根据已知条件，结合正弦定理得a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨令a＝3，则b＝5，c＝7，最大角C的余弦值为cos C＝＝＝－，0°0，0°11．在△ABC中，A＝60°，周长为10，面积为，则(　　)
A．△ABC为钝角三角形
B．AB＋AC＝
C．BC＝
D．BC边上的高为2
解析：选BC.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则a＋b＋c＝10，①
S△ABC＝bc sin 60°＝bc＝，
解得bc＝10，②
再根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，
得a2＝b2＋c2－bc，③
由①②③解得a＝，所以C正确；
b＋c＝10－a＝10－＝，所以B正确；
设BC边上的高为h，
则××h＝，
得h＝，所以D错误；
由得或
可知4为最长边，最长边所对的角最大，
设为α，60°<α<120°，
所以cos α＝＝＞0，
则α为锐角，所以△ABC为锐角三角形，A错误．故选BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝__________．
解析：根据题意及三角形的面积公式知ab sin C＝，所以sin C＝＝cos C，因为0答案：
13．如图，一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点沿直线行驶至海岛C，则此船应沿北偏东________(填角度)方向行驶________海里．
INCLUDEPICTURE "RJAC37.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAC37.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：由题意得∠ABC＝180°－70°＋10°＝120°，AB＝BC＝10海里，故∠BAC＝30°，所以从A到C的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝102＋102－2×10×10×＝300，故AC＝10海里.
答案：40°　10
14．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a cos B＝b cos ∠BAC，M是BC的中点，若AM＝4，则b＋c的最大值为__________．
解析：因为a cos B＝b cos ∠BAC，
所以由正弦定理可得
sin ∠BAC cos B＝sin B cos ∠BAC，
即sin (∠BAC－B)＝0，
所以∠BAC－B＝kπ(k∈Z).
又因为0＜∠BAC＜π，0＜B＜π，
所以∠BAC＝B，所以a＝b.
在△AMC中，
b2＝＋16－2··4cos ∠AMC，①
在△AMB中，
c2＝＋16－2··4cos ∠AMB，②
因为∠AMC＋∠AMB＝π，
所以cos ∠AMC＝－cos ∠AMB，
①＋②可得b2＋c2＝＋32，
又因为a＝b，所以b2＋c2＝32，
即(b＋c)2－bc＝32，所以(b＋c)2＝bc＋32≤()2＋32，令t＝b＋c，则t2≤＋32，即t2≤32，解得－8≤t≤8，又因为t>0，所以0答案：8
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2b cos C＝a cos C＋c cos A.
(1)求角C的大小；
(2)若b＝2，c＝，求a及△ABC的面积．
解：(1)因为2b cos C＝a cos C＋c cos A，
所以由正弦定理可得
2sin B cos C＝sin A cos C＋sin C cos A．
所以2sin B cos C＝sin (A＋C)＝sin B．
因为sin B＞0，所以cos C＝.
因为C∈(0，π)，
所以C＝.
(2)因为b＝2，c＝，C＝，
所以由余弦定理可得7＝a2＋4－2×a×2×，
整理可得a2－2a－3＝0，
解得a＝3或a＝－1(舍去)，
所以△ABC的面积S＝ab sin C＝×3×2×＝.
16．(本小题满分15分)已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin C＝c cos A.
(1)求A的值；
(2)若a＝5，求2b－c的取值范围．
解：(1)因为a sin C＝c cos A，
所以由正弦定理可得sin A sin C＝sin C cos A.
又sin C≠0，
所以sin A＝cos A，
即tan A＝.
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为a＝5，
所以＝＝＝10，
所以2b－c＝20sin B－10sin C
＝20sin －10sin C＝10cosC．
由题可知，C∈，
则10cos C∈(－5，10)，
故2b－c的取值范围是(－5，10).
17．(本小题满分15分)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝且还满足①a(sin A－sin B)＝(c－b)(sin C＋sin B)；②b cos A＋a cos B＝c sin C中的一个条件，试判断△ABC的形状，并写出推理过程．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：由题及正弦定理得＝，即a2＋ac＝b2＋bc，所以a2－b2＋ac－bc＝0，所以(a－b)(a＋b＋c)＝0，所以a＝b，即△ABC为等腰三角形．
若选①，则△ABC为等边三角形．由①及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝，又C∈(0，π)，所以C＝，所以△ABC为等边三角形．
若选②，则△ABC为等腰直角三角形．由②及余弦定理的推论得，b cos A＋a cos B＝b·＋a·＝＝c＝c sin C，又c≠0，所以sin C＝1，又C∈(0，π)，所以C＝，所以△ABC为等腰直角三角形．
18．(本小题满分17分)如图，经过城市A有两条夹角为60°的公路AB，AC，实行垃圾分类政策后，政府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站G，并分别在两条公路边上建造两个垃圾中转站M，N(异于城市A)，为方便运输，要求GM＝GN＝MN＝2(单位：km).设∠AMN＝θ.
INCLUDEPICTURE "RJAC29.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAC29.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)当θ＝30°时，求垃圾处理站G与城市A之间的距离AG；
(2)当θ为何值时，垃圾处理站G与城市A之间的距离最远？
解：(1)因为∠AMN＝30°，∠BAC＝60°且GM＝GN＝MN＝2，所以∠GMN＝60°，∠GMA＝∠MNA＝90°，
所以AM＝＝，AG＝＝＝.故垃圾处理站G与城市A之间的距离为 km.
(2)由题意∠AMG＝θ＋60°，
在△AMN中，由正弦定理得，
＝，
所以AM＝sin (120°－θ)，
在△AMG中，由余弦定理得，
AG2＝AM2＋MG2－2AM·MG·cos ∠AMG
＝sin2(120°－θ)＋4－sin(120°－θ)cos (θ＋60°)
＝sin2(θ＋60°)＋4－sin(θ＋60°)cos (θ＋60°)
＝[1－cos (2θ＋120°)]＋4－sin (2θ＋120°)
＝－[sin (2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋
＝－sin (2θ＋150°)
＝＋sin (2θ－30°)，
又0°＜θ＜120°，所以－30°<2θ－30°<210°，
当且仅当2θ－30°＝90°，
即θ＝60°时，AG2取得最大值，即能使得垃圾处理站G与城市A之间的距离最远．
19．(本小题满分17分)在①分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＋S3－S2＝ac；②(＋)·＝S△ABC；③b sin C＋c sin (＋B)＝0这三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________．
(1)求角B；
(2)已知a＝4，当取最小值时，求△ABC内切圆的半径．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)选①：依题意得
S1＝a2sin 60°＝a2，
S2＝b2sin 60°＝b2，
S3＝c2sin 60°＝c2，
则S1＋S3－S2＝ac＝a2＋c2－b2，
即ac＝a2＋c2－b2，
结合余弦定理的推论得
cos B＝＝，
又因为B∈(0，π)，
所以B＝.
选②：由(＋)·＝S△ABC，
得·＝S△ABC，
即·＝S△ABC，
所以ca cos B＝×ac sin B＝，
所以tan B＝＝，
又因为B∈(0，π)，
所以B＝.
选③：由b sin C＋c sin (＋B)＝0及正弦定理得sin Bsin C＋sin C sin (＋B)＝0，
易知sin C≠0，
所以sin B＋sin (＋B)＝0，
化简得sin B－cos B＝0，
即tan B＝，
又因为B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为a＝4，B＝，
所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝16＋c2－4c，
所以＝c＋－4≥2－4＝6，当且仅当c＝，即c＝5时，等号成立，
此时b2＝16＋c2－4c＝21，
所以b＝，
易得S△ABC＝ac sin B＝×4×5×＝5.
设△ABC内切圆的半径为r，
则S△ABC＝(a＋b＋c)r，
所以r＝＝.