9．1.1　第1课时　课后达标检测（教师版）

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1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，b＝2，则a的值为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
解析：选C.由正弦定理＝得a＝＝＝2.
2．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝(　　)
A． B．
C． D．或
解析：选B.由正弦定理＝得sin A＝＝，因为b>a，所以A＝.
3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin A sin B＋b cos2A＝a，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．2
解析：选B.由正弦定理得a sin B＝b sin A，化简得b sin2A＋b cos2A＝b＝a，则＝.故选B.
4．(2024·沈阳期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则＝(　　)
A. B．
C． D．2
解析：选D.由正弦定理得2R＝＝2(R为△ABC外接圆半径)，所以a＝2R sin A＝2sin A，b＝2R sin B＝2sin B，所以＝＝2.
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
解析：选B.由正弦定理得b＝2c＝4，由三角形面积公式得S＝bc sin A＝×4×2×＝2.故选B.
6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有(　　)
A．A∶B∶C＝ a∶b∶c
B．＝
C．若A>B，则a>b
D．若sin A>sin B，则a>b
解析：选BCD.由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A错误．
因为＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，
所以
＝＝2R＝，所以B正确．
在三角形中，大角对大边，所以C正确．
若sin A>sin B，由正弦定理可得＝>1，所以a>b，所以D正确．故选BCD.
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝__________．
解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝___________________________.
解析：由正弦定理，
得sin A＝＝＝，
又A∈(0，π)，a>b，
所以A>B，
所以A＝或.
答案：或
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，C＝45°，c＝，则 a＝________，b＝________．
解析：在△ABC中，A＝30°，C＝45°，
所以B＝180°－30°－45°＝105°，
在△ABC中，由正弦定理可得
＝＝＝2，
所以a＝2sin 30°＝1，
b＝2sin 105°＝2sin (45°＋60°)＝2×(×＋×)＝，
所以a＝1，b＝.
答案：1　
10．(2023·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°.
(1)求sin B的值；
(2)求c的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，则sin B＝＝＝.
(2)由(1)知sin B＝.因为A为钝角，所以B为锐角，所以cos B＝，所以sin C＝sin (180°－120°－B)＝sin (60°－B)＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以c＝＝＝5.
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11．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　)
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：选A.由已知可得sin B＋2sin B cos C＝sin A·cos C＋(sin A cos C＋cos A sin C)＝sin A cos C＋sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin B，所以2sin B cos C＝sin A cos C，因为012．(多选)(2024·日照月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，C＝，则＝(　　)
A． B．
C．2 D．3
解析：选BD.因为A＋B＝π－C，
所以sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos A sinB．
又sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，
所以2sin A cos B＝6sin B cos B，
即2cos B(sin A－3sin B)＝0，
解得cos B＝0或sin A＝3sinB．
当cos B＝0时，因为B∈(0，π)，
所以B＝.又C＝，
所以A＝，
则sin A＝，sin B＝1，
所以由正弦定理得＝＝；
当sin A＝3sin B时，
由正弦定理得a＝3b，
所以＝3.
综上所述，＝3或＝.
13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为________．　
解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π.
答案：π
14．在△ABC中，已知tan A＝，tan B＝.若 △ABC最长边的长为，求最短边的长．
解：因为在△ABC中，tan A＝，tan B＝，
所以tan C＝－tan (A＋B)＝－
＝－＝－1，因为C∈(0，π)，
所以C＝，即C为最大角，c为最长边，A与B都为锐角，因为tan A即A为最小角，a为最短边，所以cos2A＝＝，sinA＝＝.
由正弦定理＝，得＝，
解得 a＝.
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15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B<，c＝b sin C，则cos (A－C)的取值范围是(　　)
A．(－，1] B．(－，]
C．(0，] D．(0，1]
解析：选A.因为在△ABC中，c＝b sin C，所以sin C＝sin B sin C，因为sin C≠0，所以sin B＝.因为016．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝，sin (B－A)＝cosC．
(1)求A，B，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解：(1)因为tan C＝，
即＝，
所以sin C cos A＋sin C cos B
＝cos C sin A＋cos C sin B，
所以sin C cos A－cos C sin A
＝cos C sin B－sin C cos B，
得sin (C－A)＝sin (B－C)，
所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不符合题意，舍去).
所以2C＝A＋B，
所以C＝，
所以B＋A＝.
因为sin (B－A)＝cos C＝，
所以B－A＝或B－A＝(不符合题意，舍去).
所以A＝，B＝，C＝.
(2)S△ABC＝ac sin B＝ac＝3＋，
又＝，
即＝，两式联立得a＝2，c＝2.