9．1.1　第1课时　正弦定理的概念（教师版）

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9．1　正弦定理与余弦定理
9．1.1　正弦定理
第1课时　正弦定理的概念
|1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形公式．　2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状．
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如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小．
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思考　你能借助这3个量，求出AB的长吗？
提示：
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如图， 作BD⊥AC，垂足为D，根据三角形内角和定理计算∠BAC，易知BD＝AB·sin ∠BAC＝BC·sin ∠ACB，
所以AB＝.
一　三角形的面积公式
一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝________＝________＝________．
[答案自填] ab sin C　ac sin B　bc sin A
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若cos A＝，b＝3，c＝2，则△ABC的面积为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．
(2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝，b＝2，且△ABC的面积为，则c＝________．
【解析】　(1)因为cos A＝，所以sin A＝，
所以S△ABC＝bc sin A＝2.故选C.
(2)因为S△ABC＝bc sin A，
所以×2c×sin ＝，
解得c＝3.
【答案】　(1)C　(2)3
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三角形面积的求法
在应用三角形面积公式时，要注意根据已知条件中的边角选择合适的形式，若已知△ABC的两边及其夹角，则S△ABC＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A.　
[跟踪训练1] 在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选C.因为S△ABC＝·AB·AC·sin A＝，即××1×sin A＝，
所以sin A＝1.
因为0°二　正弦定理
1．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的________的比相等，即＝________＝.
2．正弦定理的变形(R为△ABC外接圆的半径)
(1)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A．
(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
(3)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC．
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(5)＝2R.
3．解三角形
我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．
[答案自填] 正弦　
角度1　已知两角及一边解三角形
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INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
【解】　因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2＋2.
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已知两角及一边解三角形的一般步骤
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[跟踪训练2] (1)在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则b＝(　　)
A．5 B．10
C．10 D．5
解析：选A.由正弦定理＝，
得b＝＝＝5.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin A＝，cos B＝，a＝10，则b＝____________．
解析：因为cos B＝，B∈(0，π)，
所以sin B＝.又sin A＝，a＝10，
所以由正弦定理＝，
得＝，解得b＝.
答案：
角度2　已知两边及其中一边的对角解三角形
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INCLUDEPICTURE "例3lll.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/例3lll.TIF" \* MERGEFORMAT 　(对接教材例2)在△ABC中，已知B＝45°，b＝，a＝，解三角形．
【解】　由正弦定理＝，
知sin A＝＝，
因为b当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，
所以c＝＝＝；
当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，
所以c＝＝＝.
故当A＝60°时，C＝75°，c＝；
当A＝120°时，C＝15°，c＝.
【变式探究】
(条件变式)若本例中，“B＝45°”改为“A＝60°”，其他条件不变，解三角形．
解：由正弦定理＝，
知sin B＝＝，
因为b所以c＝＝＝.
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已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论．
[跟踪训练3] (多选)在△ABC中，a＝3，b＝4，sin A＝，则sin C＝(　　)
A．1 B．
C．－ D．
解析：选AB.由正弦定理＝，
知sin B＝＝＝.
又a＝3，b＝4，所以b>a，
所以B>A，所以A一定为锐角，
所以cos A＝＝＝.
当B为锐角时，
cos B＝＝＝，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝1；
当B为钝角时，
cos B＝－＝－＝－，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.
综上，sin C＝1或sin C＝.
INCLUDEPICTURE "课堂巩固自测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂巩固自测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(教材P7练习AT1改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，A＝，C＝，则b＝(　　)
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：选C.因为A＝，C＝，
所以B＝π－A－C＝，
因为＝，
所以b＝＝＝＝2.故选C.
2．(多选)在△ABC中，a＝4，b＝6，S△ABC＝6，则C＝(　　)
A．135° B．45°
C．60° D．120°
解析：选AB.△ABC的面积为S△ABC＝ab sin C＝×4×6sin C＝6，所以sin C＝，又0°3．(多选)在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　)
A．a>b sin A B．a sin B＝b sin A
C．a解析：选BD.在△ABC中，由正弦定理＝，得a sin B＝b sin A，所以a＝，因为B∈(0，π)，所以sin B∈(0，1]，所以a＝≥b sin A，所以A不一定成立，C不成立，B，D一定成立．故选BD.
4．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，求△ABC的面积．
解：在△ABC中，因为cos C＝，所以sin C＝，所以S△ABC＝ab sin C＝×3×2×＝4.
INCLUDEPICTURE "课堂小结.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课堂小结.TIF" \* MERGEFORMAT
1．已学习：正弦定理及其变形公式、利用正弦定理解三角形．
2．须贯通：在解三角形的过程中，正弦定理及其变形公式实现边角互化，应用了转化与化归、数形结合的思想方法．
3．应注意：已知两边及其中一边的对角解三角形时一般要分类讨论．