9．1.1　第2课时　课后达标检测（教师版）

INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础达标.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/基础达标.TIF" \* MERGEFORMAT
1．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝(　　)
A．45°　　　　　　　　 B．15°
C．45°或135° D．15°或105°
解析：选C.因为AB＝AC，
由正弦定理得＝，
又因为B＝30°，所以sin C＝，
又因为AB>AC，所以C>B，
所以C＝45°或C＝135°.
2．在△ABC中，b cos A＝a cos B，则三角形的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．锐角三角形 D.等腰三角形
解析：选D.由正弦定理得＝，因为b cos A＝a cos B，所以sin B cos A＝sin A cos B，即sin (B－A)＝0，又A，B为三角形内角，得B＝A.故选D.
3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)
A． B．
C． D．±
解析：选B.由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝，
因为AB所以C所以cos C＝＝.
4．在△ABC中，若b＝3，c＝，B＝45°，则此三角形解的情况为(　　)
A.无解
B．两解
C．一解
D．一解或两解
解析：选C.由正弦定理，得＝，得sin C＝＝＝<＝sin B，因为c5．(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是(　　)
A．b＝3，c＝4，B＝30°
B．a＝5，b＝8，A＝30°
C．c＝6，b＝3，B＝60°
D．c＝9，b＝12，C＝60°
解析：选AB.对于A，因为c sin 30°＝2，所以26．(多选)(2024·丹东月考)在△ABC中，B＝45°，AB＝10，可使得角C有两个不同取值的AC的长度是(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：选BC.由题意可知，当AB sin B7．在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则钝角B＝________．
解析：因为a＝，b＝2，A＝30°，由正弦定理可得＝，所以sin B＝＝＝，因为B为钝角，所以B＝135°.
答案：135°
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝4，a＝5，则满足条件的三角形有________个．
解析：因为a>b，所以A>B，
由正弦定理知sin B＝＝，
则角B只能是锐角，只能有一个解．
答案：一
9．在△ABC中，lg (sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg (sin C－sin A)，则此三角形的形状是____________．
解析：由对数运算，得sin2C－sin2A＝sin2B，由正弦定理，得c2－a2＝b2，即a2＋b2＝c2，所以C＝，所以△ABC是直角三角形．
答案：直角三角形
10．在△ABC中，求证：－＝－.
证明：因为＝，
所以＝，
所以＝，
所以＝，
所以－＝－.
INCLUDEPICTURE "能力提升.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/能力提升.TIF" \* MERGEFORMAT
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，
由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.
化简得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，
则A＝90°或A＝B.
12．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则AB边上的高是________，S△ABC＝________．
解析：由正弦定理得＝，所以sin C＝＝＝，所以C＝60°或C＝120°，经检验，均符合题意．当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2，S△ABC＝×2×2＝2；当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1，S△ABC＝×2×1＝.
答案：1或2　或2
13．(2024·镇江期中)黄金三角形被誉为“最美三角形”，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．已知△ABC，AB＝AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点，线段AB的中垂线过点M，则的比值为________．
INCLUDEPICTURE "25d-17.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/25d-17.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：根据题意，作图如图所示：
设∠MBC＝θ，
因为BM为∠ABC的平分线，
所以∠ABM＝θ，
因为AB＝AC，所以C＝2θ，
又因为EM为线段AB的中垂线，
所以AM＝BM，
所以A＝θ，
所以∠BMC＝2θ，
所以BC＝BM，
由题意，设AB＝AC＝1，BC＝BM＝AM＝x，
则CM＝1－x，
显然△ABC∽△BCM，
所以＝，解得x＝或x＝(舍去)，
因为＝＝＝＝.
答案：
14.如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，CD是AB边上的中线．
INCLUDEPICTURE "23-86.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/23-86.TIF" \* MERGEFORMAT
求证：sin ∠BCD＝2sin ∠ACD.
证明：在△DBC中，由正弦定理得＝，即BC sin ∠BCD＝BD sin ∠CDB，在△ACD中，由正弦定理得＝，
即AC sin ∠ACD＝AD sin ∠CDA.
因为sin ∠CDA＝sin ∠CDB，AD＝BD
且AC＝2BC，
所以sin ∠BCD＝2sin ∠ACD.
INCLUDEPICTURE "素养拓展.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/素养拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
15．(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝45°，c＝8，若解该三角形有且只有一解，则b的值可能为(　　)
A．6 B．4
C．5 D．8
解析：选BD.如图，当b≥8时，以A为圆心，b为半径的圆与射线BC(不含点B)有且只有一个交点，故此时三角形有唯一解；
INCLUDEPICTURE "RJAB38.TIF" INCLUDEPICTURE "数学人B必修第四册/RJAB38.TIF" \* MERGEFORMAT
当b＝c sin 45°＝4时，△ABC为直角三角形且C＝90°，此时三角形有唯一解；
当016．已知a，b，c分别为锐角三角形ABC内角A，B，C 的对边，b－2a cos C＝a.
(1)证明：C＝2A；
(2)求的取值范围．
解：(1)证明：因为b－2a cos C＝a，所以由正弦定理得sin B－2sin A cos C＝sin A，因为在△ABC中，sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以cos A sin C－sin A cos C＝sin A，所以sin (C－A)＝sin A，所以C－A＝A或C－A＋A＝π(舍去)，所以C＝2A.
(2)由(1)得C＝2A，所以由正弦定理得
＝＝＝
＝
＝
＝
＝＝，
因为△ABC为锐角三角形，
所以A＋C>，C＝2A<，
所以所以1<4cos2A－1<2，
所以<<1，
所以的取值范围为(，1).